Matematyka.pl

Witam. Czy mógłby ktoś mi powiedzieć, w jaki sposób rozwiązywać tego typu zadanka:
1. Czy w \(\displaystyle{ S_{7}}\) istnieja permutacje rzedu siedem, osiem, dziewiec, dziesiec,
jedenascie lub dwanascie?

2. Ile jest róznych permutacji rzedu szesc w \(\displaystyle{ S_{6}}\)?

W grupie \(\displaystyle{ S_{6}}\) jedynymi permutacjami rzędu \(\displaystyle{ 6}\) są:

Cykle długości \(\displaystyle{ 6}\) oraz iloczyny dwóch cykli o długościach: \(\displaystyle{ 2,3}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 5!+ {6 \choose 2} \cdot 1! \cdot {4 \choose 3} \cdot 2!=120+120=240}\)


Wskazówka:

W grupie permutacji każdy cykl długości \(\displaystyle{ m}\) jest elementem rzędu \(\displaystyle{ m}\)
Iloczyn dwóch niezależnych cykli o długościach: \(\displaystyle{ m ,n}\) jest elementem rzędu:

\(\displaystyle{ NWW(m,n)}\) i ogólnie dla cykli o długościach: \(\displaystyle{ m ,n,...}\) rząd jest równy:

\(\displaystyle{ NWW(m,n,...)}\)


Jak widać widać z tego w zadaniu pierwszym dla dziesięciu, dwunastu będzie!