Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac {2x^3 - 3}{3x^2 - 1}}\), wykazać że istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ g}\) na \(\displaystyle{ R}\) spełnające warunki \(\displaystyle{ f(g(x)) = x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) > x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R.}\)

A jakby wyliczył \(\displaystyle{ x}\) miałby funkcję odwrotną, odwrotna funkcja jest większa od \(\displaystyle{ x}\)
Mogłaby ona chyba spełniać warunki zadania.

Ta funkcja z zadania nie ma funkcji odwrotnej.

zaklopotany93 pisze:Ta funkcja z zadania nie ma funkcji odwrotnej.

To nie jest konieczne.

Mamy \(\displaystyle{ f \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right) \right) = (-\infty, +\infty)}\). Na przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)}\) mamy \(\displaystyle{ y=f(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest rosnącą funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) (pochodna jest ściśle dodatnia, co prosto pokazać), zatem na tym przedziale też \(\displaystyle{ x=g(y)}\) dla pewnej ciągłej (rosnącej) funkcji \(\displaystyle{ g}\).

Jak wspomnieliśmy, zmienna \(\displaystyle{ y}\) przebiega zakres \(\displaystyle{ (-\infty, +\infty)}\), a zmienna \(\displaystyle{ x}\) zakres \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)}\).

Stąd mamy dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ y=f(x)=f(g(y))}\), więc wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ g(y)>y}\).

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ g(y)-y}\). Jest to funkcja ciągła, przy okazji \(\displaystyle{ g(0)=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}>0}\), zatem jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ g(y)-y \le 0}\), to z własności Darboux istnieje też takie \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ g(y)=y}\).

Stąd \(\displaystyle{ x=g(y)=y=\frac{2x^3-3}{3x^2-1} \Rightarrow x^3-x=-3}\), co nie ma miejsca na przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{3},\infty \right)}\).

Stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\) mamy \(\displaystyle{ g(y)>y}\).

Czy funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie jest symetryczna do funkcji \(\displaystyle{ f}\) względem osi \(\displaystyle{ OX}\)

i leży nad tą osią?

Zakłopotany93 powiedział:
Ta funkcja z zadania nie ma funkcji odwrotnej.

Otóż na skończonym przedziale ma funkcję odwrotną ponieważ \(\displaystyle{ x}\) da się wyliczyć za pomocą
\(\displaystyle{ y}\)

krzeslo789 pisze:Otóż na skończonym przedziale ma funkcję odwrotną ponieważ \(\displaystyle{ x}\) da się wyliczyć za pomocą \(\displaystyle{ y}\)

A funkcja \(\displaystyle{ y=x^2}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -2, 2\right]}\) ma funkcję odwrotną? \(\displaystyle{ x}\) da się wyliczyć za pomocą \(\displaystyle{ y}\).

Żeby była funkcja odwrotna, to musi być jednoznacznie wyznaczony ten \(\displaystyle{ x}\).