całka nieoznaczona z ln(sin x)

RadzioBse · Post autor: **RadzioBse** » 22 sty 2013, o 11:19

Mam problem z taką całką:

\(\displaystyle{ \int \frac {\ln \sin x} {\sin ^{2}x}\,\text dx}\)

Post autor: **Chromosom** » 22 sty 2013, o 11:21

Wykonaj całkowanie przez części, różniczkując \(\displaystyle{ \ln(\sin x)}\).

presst_moded · Post autor: **presst_moded** » 22 sty 2013, o 17:01

\(\displaystyle{ \int\frac{\ln{|\sin{x}|}}{\sin^{2}{x}}dx = \left|\begin{array}{cc}\ln{|\sin{x}|} & \frac{1}{\sin^{2}{x}}\\\frac{\cos{x}}{\sin{x}} & -\ctg{x}\end{array}\right| = -\ctg{x}\ln{|\sin{x}|}+\int\ctg^{2}{x}dx =\\= -\ctg{x}\ln{|\sin{x}|} + \int\frac{1-\sin^{2}{x}}{\sin^{2}{x}}dx = -\ctg{x}\ln{|\sin{x}|} + \int\frac{dx}{\sin^{2}{x}}-\int dx =\\= -\ctg{x}\ln{|\sin{x}|} -\ctg{x} - x +C = -\ctg{x}(\ln{|\sin{x}|}-1)-x+C}\)