Matematyka.pl

oblicz dlugosc wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=2 \vec{u}-3 \vec{v}}\) , gdy \(\displaystyle{ \left| \vec{u} \right| =\left| \vec{v} \right|=2}\) , \(\displaystyle{ \angle \left( \vec{u},\ \vec{v} \right) = \frac{ \pi }{3}}\)

Nie znam się zbytnio na wektorach, ale zacząłbym od wyliczenia iloczynu skalarnego wektorów.

Ok, ale dalej nie wiem Próbowałem to robić wykorzystując wzór na długość wektora i wzór na iloczyn skalarny wektorów w układzie współrzędnych ale wychodzi kilka rozwiązań.

\(\displaystyle{ |\vec{x}|=\sqrt{\vec{x}\circ \vec{x}}}\) i podstawowe własności iloczynu skalarnego wystarczy zastosować

czyli jak bedzie w moim przypadku?

\(\displaystyle{ |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\circ \vec{a}}=\sqrt{(2 \vec{u}-3 \vec{v})^2}=}\)

podnosisz to pod pierwiastkiem do kwadratu tak jak działa wzór skróconego mnożenia przy czym zamiast mnożenia masz iloczyn skalarny, podstawiasz dane i liczysz

\(\displaystyle{ |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\circ \vec{a}}=\sqrt{(2 \vec{u}-3 \vec{v})^2}= \sqrt{2 \vec{u} \circ 2\vec{u}-2 \cdot 2 \vec{u} \circ\left( -3 \vec{u} \right)+3 \vec{u} \circ 3 \vec{u}}}\)

tak bedzie ?

Nie masz wektora \(\displaystyle{ \vec_{v}}\), poza tym za dużo minusów w "środku" pierwiastka

\(\displaystyle{ \sqrt{(2 \vec{u}-3 \vec{v})^2}=\sqrt{4 \cdot \vec{u} \circ \vec{u} -12 \cdot \vec{u} \circ \vec{v}+9 \cdot \vec{v}\circ \vec{v}}}\)

Oblicz \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{u}}\), \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}}\), \(\displaystyle{ \vec{v} \circ \vec{v}}\) z definicji iloczynu skalarnego, wstaw w odpowiednie miejsca, a następnie wykonaj działania na liczbach

mam przyjac ze np.

\(\displaystyle{ \vec{u} =(a,b)}\) , \(\displaystyle{ \vec{v}=(c,d)}\) ?

Nie - przecież te wektory masz dane (masz ich długości i kąt między nimi). A kąt między identycznymi wektorami wynosi zero, oczywiście. Po prostu oblicz te iloczyny skalarne z definicji.

czyli \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{u}}\) ile bedzie rowny , bo juz nie wiem ?

Z definicji \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{u}=|\vec{u}| \cdot |\vec{u}| \cdot \cos \angle \left( \vec{u},\ \vec{u} \right)=...}\)

Podstaw długość tego wektora w odpowiednie miejsca oraz wartość cosinusa (tak jak pisałem - kąt między identycznymi wektorami ma miarę zero)

ok, wyszlo mi, dzieki za pomoc