Matematyka.pl

Czy istnieje funkcja okresowa f ..okreslona na całej osi rzeczywistej, która nie ma okresu zasadniczego (tzn. najmnieszego okresu dodatniego), ale ma za to nieskończony zbiór wartości? podaj dowod na nie lub przykład na tak...

Istnieje, np:
Niech \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznacza n-tą liczbę pierwszą dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, \ldots}\). Określamy:
\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} n, \ x \sqrt{p_{n}} + \mathbb{Q}\\ 0, \ x \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty}\sqrt{p_{n}} + \mathbb{Q}\end{cases}}\)
Widać, że funkcja jest dobrze określona i jej okresem jest każda liczba wymierna.