prosta i wektor

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

prosta i wektor

Post autor: tukanik » 18 sty 2013, o 20:16

Witam
Jak rozwiązać to zadanie:
Napisz równanie prostej prostopadłej do wektora u i przechodzącej przez punkt P, gdy:
a) \(\vec{u} =[-2,-2] P = (2,2)\)


\(l:\ Ax+By+C=0\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{u}=[A;B]\ \perp \ l\)

Z czego to wynika?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

prosta i wektor

Post autor: ares41 » 18 sty 2013, o 20:41

Weźmy dwa punkty \(P_1, P_2 \in l\), gdzie \(l:Ax+By+C=0\). Pokażemy, że wektor \(\vec{u}=[kA,kB]\) jest prostopadły do \(l\).
Niech \(P_1=(x_1,y_1), \ P_2=(x_2,y_2)\).
Współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie prostej.
Mamy więc :
\(\begin{cases} Ax_1+By_1+C=0 \\ Ax_2+By_2+C=0 \end{cases}\)

Odejmując stronami mamy :
\(A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0 \ \ \ \ \ \left(\star\right)\)

Zauważmy, że wektor \(\vec{t}=\vec{P_2P_1}=[x_1-x_2, y_1-y_2]\) jest równoległy do prostej \(l\), bo punkty \(P_1,P_2\) należą do tej prostej.

Policzmy teraz iloczyn skalarny \(\vec{u}\circ\vec{t}=kA(x_1-x_2)+kB(y_1-y_2)=k\left[A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)\right]\). Na mocy \(\left(\star\right)\) jest on równy \(0\). Zatem wektory \(\vec{t}\) oraz \(\vec{u}\) są prostopadłe, ale \(\vec{t}\) jest równoległy do \(l\), czyli \(\vec{u}\) jest prostopadły do \(l\).

Przyjmując \(k=1\) mamy to co chcieliśmy pokazać.

tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

prosta i wektor

Post autor: tukanik » 20 sty 2013, o 00:06

mhm, dziękuję
A da się to jakoś jeszcze pokazać bez używania iloczynu skalarnego?

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3040
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice

prosta i wektor

Post autor: loitzl9006 » 20 sty 2013, o 00:14

Jakoś mniej formalnie - wydobyć informację o współczynniku kierunkowym prostej, na której leży podany wektor \([-2;-2]\).

Przypuśćmy że wektor zaczyna się w punkcie \((0;0)\), wtedy jego koniec jest w \((-2;-2)\). Z tego widać że linia na której leży wektor ma wsp. kierunkowy \(a=1\). Jeżeli szukana prosta ma być \(\perp\) do prostej zawierającej wektor, to wiadomo że musi mieć współczynnik kierunkowy równy \(-1\). Zatem jej równanie to \(y=-x+b\). Współczynnik \(b\) znajdujesz podstawiając współrzędne \(P\).

ODPOWIEDZ