Matematyka.pl

Zmienna losowa X ma rozklad:

\(\displaystyle{ P(X=n)=\frac{c}{3^{n}}}\) \(\displaystyle{ n=0,1,2,3}\)

Wyznaczyc:

a) wartosc oczekiwana zm. losowej X
b) dystrybuante zm. losowej X

c zostalo przeze mnie wyznaczone i wynioslo \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Nie wiem jak policzyc inne podpunkty. Nigdzie nie bylo takich przykladow. Tylko takie skonczone.. I wlasnie z tymi innymi mam problem..

a) po prostu z definicji wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{n=0}^{\infty}n\cdot \mathbb{P}(X=n)}\)
b) to jest prostsze, bo wystarczy jak policzysz
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X\leq m)=\sum_{n=0}^{m} \mathbb{P}(X=n)}\)

Powiem szczerze, ze na chwile obecna to mi nic nie mowi, moglbys to rozwiazac ?

Nie. Jaki szereg należy zsumować?

\(\displaystyle{ \frac{2n}{3^{n+1}}}\). A co z b), tak po chlopsku ? Nie za bardzo wiem, co znaczy te m..?

OK.
a)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{n=0}^{\infty}n\cdot \mathbb{P}(X=n)=\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3^{n}}=\frac{2}{3}\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{2}}\)
W ostatnim kroku wykorzystałem równość \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}nx^n = \frac{x}{(x-1)^2}}\) (na pewno widziałeś już taki szereg - można udowodnić to przez pochodne)

b) No to jest proste, masz zwykły szereg geometryczny skończony...
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X\leq m)=\sum_{n=0}^{m} \mathbb{P}(X=n)=\sum_{n=0}^{m} \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n}= \frac{2}{3} \cdot \frac{1-\left( \frac{1}{3}\right)^{m+1} }{1-\frac{1}{3}}}\)

maaatrix pisze: Nie za bardzo wiem, co znaczy te m..?

\(\displaystyle{ m}\) jest argumentem dystrybuanty

Skad sie wziela ta \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ? Sorry, za glupie pytania, ale poczatki bywaja trudne, bynajmniej w moim przypadku..

W którym miejscu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)? No masz \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) w Twoim wzorze:
\(\displaystyle{ P(X=n)=\frac{c}{3^{n}}=c\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}\)