Matematyka.pl

Witam mam pewien problem z obliczeniem całki oznaczonej, w postaci:
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{1}{3}\pi }^{ \frac{1}{2}\pi } \frac{dx}{\sin x \sqrt{1+\cos x} }}\)

Próbowałam ją rozwiązać tymi oto sposobami jednak nie wiem co dalej:
a) \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x \sqrt{1+\cos x} }=\int \frac{ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x }{\sin x \sqrt{1+\cos x} }dx=\int \frac{\sin x}{ \sqrt{1+\cos x} } +\int \frac{\cos ^{2} x}{\sin x \sqrt{1+\cos x} } dx=-2\ln \left| 1+\cos x\right| + I_{2}}\)

tutaj właśnie mam problem z obliczeniem całki \(\displaystyle{ I_{2}}\)

Zaczęłam rozpisywać w ten sposób jednak nie wiem co dalej:
b)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x \sqrt{1+\cos x} }=\int \frac{dx}{ \sqrt{\sin ^{2}x +\cos x \cdot \sin ^{2}x } }=\int \frac{dx}{ \sqrt{\sin ^{2}x + \frac{1}{2} \sin x \cdot \sin 2x } }}\)

Chodzi mi głównie o pokazanie jak się zabrać za całkę nieoznaczona, z oznaczoną już sobie poradzę.

Z podstawienia uniwersalnego \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2}}\) wychodzi tak:

\(\displaystyle{ \cos x= \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \sin x= \frac{2t}{1+t^2} \\ dx= \frac{2}{1+t^2}dt \\ \\ \\ \int \frac{ \frac{2}{1+t^2} }{ \frac{2t}{1+t^2} \cdot \sqrt{ \frac{2}{1+t^2} } } dt=\int \frac{ \sqrt{ \frac{2}{1+t^2} } \cdot \left( 1+t^2\right) }{2t}dt=\int \frac{ \sqrt{2} }{2t \sqrt{1+t^2} } dt+\int \frac{ \sqrt{2} t}{ 2\sqrt{1+t^2} } dt}\)

Myślę że nie ma błędów, ale różnie może być - sprawdź moje przekształcenia. Całkę postaci \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t \sqrt{1+t^2} }dt}\) liczysz, podstawiając \(\displaystyle{ \sqrt{1+t^2}=p-t}\), a tej \(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{2} t}{ 2\sqrt{1+t^2} } dt}\) to chyba nie trzeba komentować.

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin x\sqrt{1+\cos x}}\,dx=\int\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\sqrt{2\cos^2\frac{x}{2}}}\,dx=\int\frac{\sin\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}\,dx=\\\\
=\int\frac{\left(\cos\frac{x}{2}\right)'}{\sqrt{2}\left(\cos^2\frac{x}{2}-1\right)\cos^2\frac{x}{2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{(u^2-1)u^2}\,du}\)

i mamy całkę funkcji wymiernej