Matematyka.pl

Chciałbym się Was zapytać o topologię, a w zasadzie jak się zabrać do niej.
Jestem w 4 technikum, nie jestem jakoś super zdolny z matematyki, ale lubię ją bardzo, zwykle sam sobie "poszerzam horyzonty".
Całki, pochodne, macierze, liczby zespolone te słowa zawsze mi się z czymś kojarzą i jakiś zarys w głowie mam, umiem wykonywać jakieś proste operacje.
Ale jak słyszę albo czytam słowo "topologia" to kurcze pustka w głowie, a w zasadzie pączek=kubek, i nic więcej. Jest to dla mnie najbardziej tajemniczy obszar matematyki, swoista czarna dziura gdzie nagle wszystko się urywa.
Czy jesteście w stanie mi podać hmhm no nie wiem sam, jakieś wskazówki, porady jak się zabrać właśnie do topologi? czy w ogóle jest to możliwe bez posiadania jakiejś konkretnej wiedzy z jakiegoś działu matematyki ?

Wypada liznąć teorię mnogości. Oto samo pytałem kilka lat temu: 127065.htm#p466454

miki999 pisze:Wypada liznąć teorię mnogości. Oto samo pytałem kilka lat temu: 127065.htm#p466454

To zależy - masz rację, gdy mówisz o topologii ogólnej / mnogościowej. Ogromną dziedziną wiedzy jest topologia nieskowymiarowa wraz z topologią algebraiczną (na zachodzie będą się często upierać, że to jest ta właściwa topologia). Tutaj narzędzia są algebraiczne (czy wręcz kategoryjne), a teoria mnogości idzie na dalszy plan. Zobacz na przykład pojęcie grupy podstawowej:


Topologia to najogólniej nauka o ciągłości. Topologia ogólna traktuje o ciągłości w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych / jednostajnych. Topologia niskowymiarowa zajmuje się ogólną strukturą przestrzeni, które lokalnie wyglądają jak podzbiory \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

Nie wiem dlaczego, ale na większości polskich uczelni za słowem topologia kryje się topologia mnogościowa (ang. point-set topology).

Polecam Ci zajrzenie do książki:

K. Janich, Topologia

która bezboleśne wprowadza do zagadnień związanych z obiema topologiami, często nawet nie dokonując rozróżnienia. Dobrą pozycją może być też:

J. Mioduszewski, Wykłady z topologii (pojawia się często na allegro za kilka groszy).

Stanowczo odradzam zaglądanie na tym etapie nauki do klasycznej pozycji

R. Engelking, Topologia ogólna.

Te dwa nurty o których wspomniałem nie są obecnie jedynymi. Topologię można uprawiać w przestrzeniach, w których pojęcie punktu schodzi na dalszy plan:


Mówi się też o topologii nieprzemiennej, czyli teorii C*-algebr (tutaj topologia ogólna zawiera się jednak w sposób właściwy, a metody często są jednak inspirowane tymi z topologii algebraicznej):
[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Noncommutative_topology]Noncommutative topology[/url]
[url=http://en.wikipedia.org/wiki/K-theory]K-theory[/url]

naznaczony pisze:Całki, pochodne, macierze, liczby zespolone te słowa zawsze mi się z czymś kojarzą i jakiś zarys w głowie mam, umiem wykonywać jakieś proste operacje.

To się bardzo chwali, ćwicz sprawność rachunkową. Musisz tylko wiedzieć, że nie o tym jest matematyka. Macierz to nie jest tabelka z liczbami, a całkowanie to nie operacja odwrotna do różniczkowania. Za tymi rzeczami kryją się bardzo głębokie intuicje i prawdy (nie lubię używać słowa teoria, bo ma to często wydźwięk pejoratywny).

Może spróbuj zrozumieć dokładnie co to znaczy, że funkcja jest ciągła (ale na nieco wyższym poziomie abstrakcji niż tym serwowanym w szkole).

Sprawdź czy rozumiesz wypowiedź i dowód
[url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Darboux]Twierdzenie Darboux[/url]

Godną polecenia pozycją jest tu:
J. Mioduszewski, Ciągłość. Szkice z historii matematyki (jest również poszerzona wersja z roku 2006).

Dziękuję Panowie.
@miki999
Hmhm chyba właśnie tak zrobię, znalazłem na necie dosyć przystępne dla mnie wykłady także, zacznę od tego. Jakbym się zagubił to będę pytał.


@Spektralny
Rozumiem to w taki sposób,[uwaga mogą się pojawić herezje] że jak zmieniamy znak na ujemny albo na odwrót to wtedy funkcja musi przejść przez punkt dla którego wartość tej funkcji jest równa zero.[/herezje]
Ale jeśli miałbym to zastosować praktycznie w jakimś zadaniu to raczej klapa.
samego dowodu jakoś też nie rozumiem. Więc chyba będę musiał bardziej wciągnąć się w analizę

naznaczony pisze:Jest to dla mnie najbardziej tajemniczy obszar matematyki, swoista czarna dziura gdzie nagle wszystko się urywa.

Haha genialne, nie uwierzysz ale obecnie astrofizycy badają czarne dziury i ich otoczenia metodami topologicznymi.

Przykład:


No właśnie zadania (zwłaszcza rachunki) związane z pojęciami które wymieniłeś, powodują wrażenie odmienności i bezużyteczności topologi, gdzie z kolei efekty i prawdziwe zastosowania leżą znacznie dalej i głębiej niż szkolne zadania. Myślę, że samo piękno topologii ukazuje się dopiero po dłuższym (kilkuletnim) jej studiowaniu.