Obliczenie granicy ciągu- twierdzenie o trzech ciągach

[Macius700]

Sformułować twierdzenie o trzech ciągach. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left \sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n}+2n }\right}\)

[bartek118]

Granica domyślamy się jaka będzie? Przez co możemy to oszacować?

[Macius700]

Ja wiem na czym polega to twierdzenie. Ale nie mam pojęcia jakie zrobić ciągi mniejszy i większy do tego?

[Althorion]

Najbardziej klasycznie:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{-1}{n} + 2n} \le \ldots \le \sqrt[n]{\frac{1}{n} + 2n}}\)

[Macius700]

Dzięki. Granica będzie wynosić minus nieskończoność tak? Bo liczyłem i tyle mi wychodzi ale nie wiem czy dobrze? Jak obliczyć ta granice

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left \sqrt[n]{\frac{-1}{n} + 2n}\right=\lim_{n\to\infty} \left\frac{ \sqrt[n]{\frac{-1}{n} + 2n}\cdot\sqrt[n]{\frac{-1}{n} - 2n}}{\sqrt[n]{\frac{-1}{n} - 2n} }\right=\lim_{n\to\infty} \left \frac{\sqrt[n]{\frac{(-1^2)}{n^2} - 4n^2}}{\sqrt[n]{\frac{-1}{n} - 2n}}}\right=\lim_{n\to\infty} \left \frac{\sqrt[n]{\frac{(-1^2)}{n^3} - 4n}}{\sqrt[n]{\frac{-1}{n^2} - 2}}}\right=-\infty}\)

[Frmen]

No co ty....
jak granica ciągu o wyrazach dodatnich może być ujemna

-- 15 sty 2013, o 16:01 --

Sformułować twierdzenie o trzech ciągach. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left \sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n}+2n }\right}\)

A jeszcze bardziej "klasycznie"

\(\displaystyle{ -n<\frac{(-1)^n}{n}<n}\)-- 15 sty 2013, o 16:06 --Ok z tą "klasycznością" chodzilo mi o to że najszybciej do nieskończoności zdążającym składnikiem jest
\(\displaystyle{ 2n}\), więc dobrze jest tak dobrać szacowania by się od razu ładnie dodało i odjęło od tego.

[Macius700]

to jak to obliczyć tą granice co mi wcześniej kolega podał bo się pogubiłem w tym

[Frmen]

najprościej tak samo

po jego klasycznym szacowaniu zrobić moje drugie również klasyczne

[Macius700]

ale w twoim oszacowaniu brakuje \(\displaystyle{ + 2n}\)

[Frmen]

jak brakuje to je sobie dodaj do obu stron., właśnie o to chodzi. Zobaczysz co się stanie i zrozumiesz dlaczego to jest "klasyczne".
Sorry za skrót myślowy..
masz zapisane dwie nierówności w jednym wierszu, dodaj do obu nierówności do obu stron..



a nie całkiem klasycznie (to mój ulubiony sposób) wyciągamy przed nawias to co dąży do nieskończoności najszybciej.
W nawiasie zostają ciągi dążące do stałej i do zera.
Ograniczam je więc stałymi i stosuje do tego twierdzenie o trzech ciągach.

[Macius700]

napisz mi to oszacowanie dokładnie bo nie rzoumiem

[Frmen]

\(\displaystyle{ -n<\frac{(-1)^n}{n}<n}\)

\(\displaystyle{ -n<\frac{(-1)^n}{n} \wedge \frac{(-1)^n}{n}<n}\)

do obu stron tych nierówności dodaj to \(\displaystyle{ 2n}\) co Ci brakuje

[Macius700]

a gdzie pierwiastek?

[Frmen]

zrób najpierw to jedno i zobaczysz co się stanie.
jak Ci napisze odpowiedź nie będziesz wiedział skąd się wzięła, zrobisz sam, zrozumiesz

[Macius700]

Od początku mam granice \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left \sqrt[n]{\frac{-1}{n} + 2n}\right}\) co mam dalej z nią zrobić ?