Matematyka.pl

Wykazać, że jeśli między długościami a, b, c boków trójkąta zachodzi związek : a^2 = b^2 + bc to kąt wewnętrzny leżący naprzeciw boku o długości a jest dwa razy większy od kąta wewnętrznego leżącego naprzeciw boku o długości b.

Zalozy, ze jest to prawda, oznaczmy: kat \(\displaystyle{ \alpha}\) jest przeciwlegly do boku b, zas kat \(\displaystyle{ 2\alpha}\) jest przeciwlegly do boku a.

Korzystamy z tw. Sinusow:
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin2\alpha}}\)
Z tej rownosci otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{a}{2b}}\)

Nastepnie korzystamy z tw. Cosinusow:
\(\displaystyle{ b^2=c^2+a^2-2ac\cos\alpha}\)
po podstawieniu otrzumujemy:
\(\displaystyle{ b2=c^2+a^2-2ac\frac{a}{2b}\\b^3=bc^2+ba^2-a^2c\\bc^2-b^3+ba^2-a^2c=0\\b(c^2-b^2)-a^2(c-b)=0\\b(c-b)(c+b)-a^2(c-b)=0\\(c-b)[b(c+b)-a^2]=0\\c-b=0\;\;lub\;\;a^2=b^2+bc}\)

Ola, ale to dowodzi, ze jesli to prawda i zachodzi ta rownosc, to boki spelniaja te rownosc, chyba tylko takie cos wykazalas, prawda?
Zgadzam sie, ze trzeba uzyc Tw. sinusow i Tw. cosinusow.
Mi wyszlo w ten sposob (katy to A, B i C, boki lezace naprzeciwko, odpowiednio a, b, c):
z Tw. cosinusow: a2 = b2 + c2 - 2bc*cos(A), a z danej rownosci a2 = b2 + bc, zatem
bc = c2 - 2bc*cos(A)
Po przeksztalceniach
c= b(1 + 2cos(A)) (*)
Z Twierdzenia sinusow
c = b*sin(C)/sin(B) (**)
Ponadto C = 180o - A - B, wiec
sin(C) = sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) (***)
Wstawiajac (**) i (***) kolejno do (*), po wymnozeniu stronami przez sin(B) mamy, ze
sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(B) + 2cos(A)sin(B)
A z tego, po przeksztalceniach, ze
sin(B) = sin(A - B), sa to katy w trojkacie, wiec mniejsze od 180o, zatem
B = A - B (1)
lub
B = 180o - (A - B) (2) ---> z tego byloby, ze A = 180o, pozostaje (1), czyli to, o co nam chodzi.

Zgadza sie, czyli mamy dowod w dwie strony, tzn prawie, bo mi wyszlo cos wiecej oprocz tej rownosci moze jeszcze byc trojkatem rownoramiennym, ale pewnie bedzie tak ze te rownoramienne tez spelniaja te rownosc.