Matematyka.pl

Jak policzyc cos takiego najlepiej bez uzycia kalkulatora, choc i z tym nie daje rady.
\(\displaystyle{ -5988^{26} \pmod{103}}\)

\(\displaystyle{ -5988^{26}\equiv -14^{26} \equiv -\left(14^{2}\right)^{13} \equiv 10^{13} \pmod{103}}\)

Dalej to już można sobie poradzić.

I rozumie ze te 1 przejscie zrobiles bez kalkulatora ?
Czyli ogolnie musze np pierwsze podzielic te \(\displaystyle{ 5988}\) przez \(\displaystyle{ 103}\) nastepnie otrzymana wartosc pomnozyc przez \(\displaystyle{ 103}\) i otrzymana nowa wartosc odjac od \(\displaystyle{ 5988}\) ?
W ten sposob sie to robi czy jest jakis bardziej optymalny ?

Faner pisze: Czyli ogolnie musze np pierwsze podzielic te \(\displaystyle{ 5988}\) przez \(\displaystyle{ 103}\) nastepnie otrzymana wartosc pomnozyc przez \(\displaystyle{ 103}\) i otrzymana nowa wartosc odjac od \(\displaystyle{ 5988}\) ?
W ten sposob sie to robi czy jest jakis bardziej optymalny ?

To jest bardzo nieoptymalny sposób na otrzymanie 0.

zapomnialem tam dopisac. Mnoze przez wartosc calkowita a nie przez caly wynik dzielenia.

Wystarczy, że podzielisz po prostu te liczbę przez 103 i otrzymaną resztą z dzielenia zastąpisz 5988.

Stąd właśnie:
\(\displaystyle{ -5988^{26}\equiv -14^{26}}\)

Proponuję też udowodnić, że istotnie taka własność kongruencji zachodzi - dla lepszego zrozumienia.
Pozdrawiam.

-- 13 sty 2013, o 14:35 --

Natomiast jeżeli chodzi ci o samą technikę otrzymania reszty z dzielenia za pomocą kalkulatora to łatwo ją wywnioskować z definicji dzielenia liczby a przez liczbę b.

\(\displaystyle{ a = bI + R\\
\frac{a}{b}=b+R/b}\)

to co wyświetla kalkulator po przecinku jest równe \(\displaystyle{ R/b}\) a więc musisz później tę liczbę po przecinku pomnożyć przez b, aby dostać \(\displaystyle{ R}\)

W tym przypadku dzielisz 5988 przez 103 i otrzymaną wartość po przecinku (która nazywa się mantysa)
mnożysz przez 103.

... tylko trzeba jeszcze uważać, w jaki sposób kalkulator zaokrągla.

Strasznie pomieszales. W ogole tego teraz nie rozumie.
Nie mozna robic tego w ten sposob ze mam jakas liczbe dajmy na to \(\displaystyle{ 7653}\) i mam znalezc reszte z dzielenia przez \(\displaystyle{ 27}\) to dziele \(\displaystyle{ 7653 / 25 = 306,12}\)
To biore czesc calkowita czyli \(\displaystyle{ 306}\) mnoze razy przez to co dzielilem czyli \(\displaystyle{ 306 \cdot 25 = 7650}\) I teraz od poczatkowej odejmuje ta \(\displaystyle{ 7653 - 7650 = 3}\) i to jest szukana reszta