Matematyka.pl

Ostrosłup którego podstawą jest prostokąt o bokach a i b ma wszystkie krawędzie boczne długości k.
Oblicz kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi.


wyszło mi coś takiego

\(\displaystyle{ \cos {\alpha} = 1 - \frac{ (k+b)^2 \cdot (a^2+b^2) }{ b^3 \cdot (2k+ b) }}\)

czy mógłby ktoś to sprawdzić?

-- 12 sty 2013, o 17:54 --

Prooooooooszę

Mam inny wynik

\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{b \sqrt{4k^2-b^2} -k(a^2 + b^2)}{b \sqrt{4k^2-b^2} }}\)

anna_, czym jest kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi? Czy będzie on równy kątowi podstawy z której te ściany wychodzą?

Chodzi o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)

O, ciekawe zadanie, tutaj się korzysta z twierdzenia cosinusów skoro liczyłaś cosinus, ale jak obliczyć długość \(\displaystyle{ \left| EC\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| SE\right|}\)? Bo tych przyprostokątnych potrzebujemy skoro mamy policzyć ramienia tego trójkąta (bo wiemy, że ta na przeciw tego kąta to \(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2}+b ^{2} }}\), prawda?)
Ja bym rozłożył \(\displaystyle{ k=p+q}\), gdzie te dwie niewiadome to długości boków o które pytam, i później z pitagorasa, ale nie chciało mi wyjść (tzn. wprowadzam do tego cosinusa dodatkowe niewiadome).

\(\displaystyle{ |BE|}\) (wysokość trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\) poprowadzona na bok \(\displaystyle{ CS}\)) wyjdzie z porównania pól trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\)

Najpierw wysokość trójkąta z Pitagorasa.
Potem równanie:
\(\displaystyle{ \frac{b \sqrt{k^2- \frac{1}{4} b^2} }{2}= \frac{k|EB|}{2}}\)

Teraz to widzę, świetny pomysł! Ale ten cosinus jakiś znaczniej bardziej udziwniony mi wychodzi:

\(\displaystyle{ cos \alpha=\left( -a^2-b^2+ \left( \frac{a^2(k^2- \frac{1}{4}a^2)+b^2(k^2- \frac{1}{4}b^2) }{k ^{2} }\right) \right)\left( \frac{k^2}{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)} } \right)}\)
Teraz będę szukać błędu u siebie

Edit. już chyba widzę - te \(\displaystyle{ - a^{2}-b ^{2}}\) włączyć do mianownika i wyłaczyć przed nawias kwadrat a i b

Oj, to ja mam błąd.
Ściany \(\displaystyle{ BCS}\) i \(\displaystyle{ DCS}\) nie są przystające, więc \(\displaystyle{ |BE| \neq |DE|}\)

A tak się dziwiłem czemu taki prosty ten wynik, a mi po uproszczeniu wyszo:
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{1}{4}a ^{4}- \frac{1}{4}b ^{4} }{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)}}}\)
Chociaż nie wiem czy to jest dobrze.
Ale bez pomysłu z tymi polami bym sobie nie poradził za co bardzo dziekuje!

Wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^4}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }}\)

Chyba, że gdzieś się znowu pomyliłam.

arcan pisze:... mi po uproszczeniu wyszo:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{-\frac{1}{4}a ^{4}- \frac{1}{4}b ^{4} }{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)}}}\)

anna_ pisze:Wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^2}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }}\)

Czyli wyszło Wam to samo.

Mnie wyszło trochę inaczej:

\(\displaystyle{ \blue cos\alpha=\frac{-ab}{\sqrt{(4k^2-a^2)(4k^2-b^2)}}}\)

Zmieniłam \(\displaystyle{ b^2}\) na \(\displaystyle{ b^4}\), a błędu szukać nie będę, bo autor jakoś mało jest zainteresowany tym rozwiązaniem.

Jak mam się przekonać które rozwiązanie jest właściwe. W wikipedi jest podany kąt między ścianami w ośmiościanie foremnym \(\displaystyle{ \alpha=2\arcsin\sqrt{\frac23} \approx 109^\circ,47}\)

nasz ostrosłup będzie połową tego ośmiościanu gdy k=b=a

\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^4}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }= - \frac{ a^{4} + a^{4} }{ 2aa \sqrt{4a^{2}-a^{2}} \sqrt{4a^{2}-a^{2}} }=-\frac{2a^{4} }{ 2a^{2}\cdot 3a^{2}}= - \frac{1}{3}}\)


\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{-ab}{\sqrt{(4k^2-a^2)(4k^2-b^2)}}=\frac{-a\cdot a }{ \sqrt{(4a^{2}-a^{2})(4a^{2}-a^{2})} }=\frac{ -a^2 }{ 3a^{2} }=- \frac{1}{3}}\)

oba wzory dają ten sam wynik ale czy to jest to samo co w wikipedi?
i dlaczego te dwa wzory dają ten sam wynik chociaż się różnią

Podstawą ostrosłupa był prostokąt, a nie kwadrat więc nie będzie on połową ośmiościanu.

Ale ja przyjęłam do obliczeń k=b=a, więc podstawą jest kwadrat o boku a i wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. A to po to, żeby sprawdzić wynik z wikipedią bo tam jest podany kąt między ścianami ośmiościanu, którego nasz ostrosłup jest wtedy połową