Matematyka.pl

pokazac że jesli\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n=L}\) to ciag \(\displaystyle{ b_n={a_1+\ldots+a_n \over n}}\) jest równiez zbiezny do L

To twierdzenie pochodzące do Cauchy'ego bywa przedstawiane jako bezpośredni wniosek z twierdzenia Stolza.

A elementarniej mamy:
\(\displaystyle{ a_{n} = L + \alpha_{n},\quad \alpha_{n} \to 0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim \frac{a_{1} + \ldots + a_{n}}{n} = \\
= \lim \frac{n\cdot L + \alpha_{1}+ \ldots + \alpha_{n}}{n} = \\
= \lim \left(L + \frac{\alpha_{1} + \ldots + \alpha_{n}}{n}\right) = L + 0 = L}\)

edit pomyliłem znaki

a nie mozna tego pokazac w inny sposób? potrzebuje to na kolokwium

No to z definicji:

Przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), z założeń, korzystając z definicji granicy ciągu mamy:
dla \(\displaystyle{ n > n'(\varepsilon)}\) (gdzie \(\displaystyle{ n'(\varepsilon)}\) to liczba naturalna, dla której dla każdego \(\displaystyle{ n}\) od niej większego jest \(\displaystyle{ |a_{n} - L| < \varepsilon}\)):

\(\displaystyle{ \left|\frac{a_{1} + \ldots + a_{n}}{n} - L\right| =\\
= \left|\frac{a_{1} + \ldots + a_{n} - n\cdot L}{n}\right| =\\
= \left|\frac{a_{1} - L + \ldots + a_{n} - L}{n}\right| \leqslant\\
\leqslant \frac{|a_{1} - L| + \ldots + |a_{n} - L|}{n} = \\
= \frac{|a_{1} - L| + \ldots + |a_{n'(\varepsilon)} - L| + |a_{n'(\varepsilon) + 1} - L| + \ldots + |a_{n} - L|}{n} \leqslant \\
\leqslant \frac{|a_{1} - L| + \ldots + |a_{n'(\varepsilon)} - L| + (n - n'(\varepsilon))\cdot \varepsilon}{n} \leqslant \\
\leqslant \frac{n'(\varepsilon)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|\} + n\cdot \varepsilon - n'(\varepsilon)\cdot \varepsilon}{n} \leqslant \\
\leqslant \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\} + n\cdot \varepsilon}{n} = \\
= \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\}}{n} + \varepsilon}\)

I teraz jeśli weźmiemy:
\(\displaystyle{ n''(2\varepsilon) = \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\}}{\varepsilon}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ n''(\varepsilon) = \frac{2\cdot(n'(\frac{1}{2}\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\frac{1}{2}\varepsilon)} - L|, \frac{1}{2}\varepsilon \}}{\varepsilon}}\)
to będzie:
dla każdego \(\displaystyle{ n > \max\{n''(2\varepsilon), n'(\varepsilon)\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\}}{n} + \varepsilon < 2\varepsilon}\)
a ponieważ relacja mniejszości jest przechodnia, to będzie też:
\(\displaystyle{ \left|\frac{a_{1} + \ldots + a_{n}}{n} - L\right| < 2\varepsilon}\)
czyli dla każdego \(\displaystyle{ n > \max\{n''(\varepsilon), n'(\tfrac{1}{2}\varepsilon)\}}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{a_{1} + \ldots + a_{n}}{n} - L\right| < \varepsilon}\)

Ponieważ, założylismy, że \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią, to z definicji granicy ciągu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lim \frac{a_{1} + \ldots + a_{n}}{n} = L}\)

edit4. uff... teraz powinno działać
edit5. jeszcze jedna drobna nieścisłość - poprawiona

Spróbuj wykorzystać twierdzenie Stolza.

No niby jedna linijka roboty (twierdzenie Stolza z dowodem jest na przykład i ), ale dowód twierdzenia Stolza jest bardziej skomplikowany...

max pisze:No to z definicji:


\(\displaystyle{ \
[...]= \frac{|a_{1} - L| + \ldots + |a_{n'(\varepsilon)} - L| + |a_{n'(\varepsilon) + 1} - L| + \ldots + |a_{n} - L|}{n} \leqslant \\
\leqslant \frac{|a_{1} - L| + \ldots + |a_{n'(\varepsilon)} - L| + (n - n'(\varepsilon))\cdot \varepsilon}{n} \leqslant [...]}\)

dokładnie o to mi chodziło, dzieki max... ale jakbys mi wytłumaczył jak napisac 2 linike na podstawie pierwszej (cytat) to byłbym bardzo wdzieczny ....

Ok:
Dla każdego \(\displaystyle{ n > n'(\varepsilon)}\) jest \(\displaystyle{ |a_{n} - L| < \varepsilon}\) (istnienie takiej liczby \(\displaystyle{ n'(\varepsilon)\in \mathbb{N}}\) wynika z tego, że \(\displaystyle{ \lim a_{n} = L}\)).
Stąd:

\(\displaystyle{ |a_{n'(\varepsilon) + 1} - L| + \ldots + |a_{n} - L| < \underbrace{\varepsilon + \ldots + \varepsilon}_{n - n'(\varepsilon) \ skladników } = (n - n'(\varepsilon))\cdot \varepsilon}\)

max pisze:
I teraz jeśli weźmiemy:
\(\displaystyle{ n''(2\varepsilon) = \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\}}{\varepsilon}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ n''(\varepsilon) = \frac{2\cdot(n'(\frac{1}{2}\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\frac{1}{2}\varepsilon)} - L|, \frac{1}{2}\varepsilon \}}{\varepsilon}}\)
to będzie:
dla każdego \(\displaystyle{ n > \max\{n''(2\varepsilon), n'(\varepsilon)\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\}}{n} + \varepsilon < 2\varepsilon}\)

a mogłbys mi jeszcze to wytłumaczyc?... dlaczego w mianowniku jest \(\displaystyle{ \varepsilon}\)
w ogole nie rozumiem całego tego zapsiau, (tych pierwszych 2 linijek) z gory dziekuje
to juz chyba ostatnie pytanie heh

Standardowe rozumowanie w wypadku dowodzenia granicy z definicji:
Mamy nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{(n'(\varepsilon) - 1)\cdot \max\{|a_{1} - L|, \ldots, |a_{n'(\varepsilon)} - L|, \varepsilon\}}{n} + \varepsilon < 2\varepsilon}\)
i przekształcając, tak by po jednej stronie było samo \(\displaystyle{ n}\), otrzymujemy pierwszą linijkę...

Tam bierzemy \(\displaystyle{ 2\varepsilon}\), bo jakbyśmy wzięli tylko \(\displaystyle{ \varepsilon}\) to by się zredukowało... w niczym ta dwójka nie przeszkadza, bo jeśli \(\displaystyle{ \varepsilon}\) może być dowolnie małe to i dowolnie małe może być \(\displaystyle{ 2\varepsilon}\).

Druga linijka powstaje z analogicznego rozumowania tyle, że wstawiamy \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}\varepsilon}\) zamiast \(\displaystyle{ \varepsilon}\)