Matematyka.pl

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x,y) = 5x + 7y}\). Zbadać, czy funkcja jest na.

Nie do końca wiem, jak się za to zabrać. Domyślam się, że można to udowodnić indukcyjnie dzieląc na przypadki, jednak nie wiem na jakie... Gdyby ktoś mógłby mi podpowiedzieć, byłabym wdzięczna, również za inne propozycje rozwiązania

Liczby 5 i 7 są względnie pierwsze, a więc z "algorytmu Euklidesa" wynika, że możesz zapisać 1 (ich największy wspólny dzielnik) jako kombinację liniową liczb 5 i 7 o współczynnikach całkowitych, powiedzmy

\(\displaystyle{ 1 = 5a + 7b}\).

Ustalmy teraz liczbę całkowitą \(\displaystyle{ z}\).

Mamy \(\displaystyle{ z = z\cdot 1 = z\cdot f(a,b) = f(za, zb)}\).