Matematyka.pl

Jak rozwiazac taka calke \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x-\sqrt{x^2-x+1}}}\)
Jest to calka z Banasia. Z poprzednich dzialow elegancko wychodzilo wyniki a w dziele z podstawieniami Eulera za kazdym razem inny wynik :

Moje rozwiazanie jest takie :
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1} = t - x}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{t^2-1}{2t-1}}\)
\(\displaystyle{ dx = \frac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2} dt}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1} = \frac{t^2-t+1}{2t-1}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{ \frac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2}}{\frac{t-2}{2t-1}} dt = \int \frac{2t^2-2t+2}{2t^2-5t+2}dt = \int\left(1+\frac{3t}{2t^2-5t+2}\right)dt}\)
rozklad na ulamki proste
\(\displaystyle{ \int \left( 1+\frac{2}{t-2}+\frac{-1}{2t-1} \right) dt = t + 2 \ln | t-2| - \frac{1}{2} \ln | t - \frac{1}{2} | + C}\) i juz widac ze zle bo wynik w Banasiu to
\(\displaystyle{ -\frac{3}{2(2x-1-2\sqrt{x^2-x+1})}-\frac{3}{2} \ln | 2x-1-2\sqrt{x^2-x+1}|+2\ln|x-\sqrt{x^2-x+1}| + C}\)

Prosze o pomoc bo za niedlugo kolokwium a ciezko mi ida te calki niewymierne

Na zajęciach mnożyliśmy przez sprzężenie, rozdzielaliśmy na 2 całki \(\displaystyle{ \int \frac{x \mbox{d}x }{x-1} + \int \frac{ \sqrt{ x^{2}-x+1 } \mbox{d}x }{x-1}}\) potem podstawienie Eulera.

Faner, nie sprawdzaj czy się zgadza z odpowiedziami tylko różniczkując wynik,
poza tym usuń niewymierność z mianownika w tym wyniku z odpowiedzi ,ewentualnie pobaw się
z włączaniem stałej z logarytmu i funkcji wymiernej (zmiennej t) do stałej całkowania