Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{R}}\)
Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości sumy \(\displaystyle{ x+y+z}\), gdy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
y=x^2-2\\
z=y^2-2\\
x=z^2-2
\end{matrix}\right.}\).

Proszę o jakąś podpowiedź.
Pozdrawiam.

wstaw np \(\displaystyle{ x^2-2}\)na y do drugiego równania i masz układ 2 równań z 2 niewiadomymi

No, mogę nawet to zredukować do jednego równania:
\(\displaystyle{ x^8-8x^6-12x^4-16x^2-x+2=0}\) (chyba się nie pomyliłem )
ale jest wyjątkowo nieładne.

Niewiele mi jednak to daje w kwestii poszukiwania sumy.

jak to niewiele? jak wyliczysz x to wyliczysz y, jak wyliczysz y to dostaniesz z

hmm, sprawdź może rachunki albo szukaj wzorów skróconego mnożenia/grupuj

Nie ma możliwości, żeby wyszło coś innego stopnia niż 8, więc raczej wyznaczanie x to kiepski pomysł. Poza tym samo polecenie sugeruje, że raczej trzeba szukać czegoś sprytniejszego.

Proszę o jakąś podpowiedź.

gdy \(\displaystyle{ x=2cos(t)}\) to \(\displaystyle{ y=2cos(2t)}\)
etc

Można też rozkładać wielomian 8. stopnia i wyciągnąć odpowiednie wnioski (chociaż nie wiem, na ile to można uogólnić, być może tylko przypadkowo można go dość ładnie rozłożyć).

Powyższy sposób jest bardzo ładny, chociaż, co dziwne, aby doliczyć szczegóły, trzeba w nim poświęcić więcej czasu niż w poniższym rozwiązaniu. Na przykład, używając powyższego podstawienia trygonometrycznego, trzeba w pewnym momencie policzyć \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{2\pi}{7} \right) + \cos \left( \frac{4\pi}{7} \right) + \cos \left( \frac{8\pi}{7} \right)}\), co bez elementarnej znajomości liczb zespolonych (wynik tego dodawania to \(\displaystyle{ -0.5}\)) może być dość uciążliwe (lub wymagać znajomości trikowych tożsamości trygonometrycznych, a może po prostu nie zauważam prostego sposobu ).