Matematyka.pl

Witam, dawno nikt nie wrzucał zestawu, to pomyślałem, że na wrzucę.
Większość zadań pochodzi z mathliksa i starych obozów OM. Poziom jest zadań zbliżony do II etapu (tak sądzę) albo lekko wyższy. Proszę tylko o wrzucanie pełnych rozwiązań, a nie odnośników, jeśli ktoś już zna to zadanie i życzę powodzenia!

Rozwiązane zadania wrzucam pod treścią, by łatwiej można było je znaleźć. Jeśli ktoś zmieni je w międzyczasie, albo chce wprowadzić poprawki pod to co wkleiłem - pisać na priv.

Wszelkie uwagi proszę wysyłać na priv.
\(\displaystyle{ \hline}\)

1. Rozwiąż układ równań w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{ \begin{cases}5^{x}-2^{y}=117\\ 5^{y}-2^{x}=117\end{cases}}\)
2. Rozwiąż układ równań w liczbach rzeczywistych:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x^3+x^2+14x+1=4y^3+12y^2+y\\xy+x+y-1=0\end{cases}}\)
3. W \(\displaystyle{ \triangle ABC, E\in AB, F\in AC, D}\) jest środkiem \(\displaystyle{ BC, DE \cap BF=G, DF\cap CE=H, AE=AF, EG=FH}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ AB = AC}\)

4. Okręgi \(\displaystyle{ \Gamma_{1}}\) i \(\displaystyle{ \Gamma_2}\) przecinają się odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma_{1}}\) leży taki punkt \(\displaystyle{ B}\), a na \(\displaystyle{ \Gamma_2}\) taki punkt \(\displaystyle{ C}\), że \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem \(\displaystyle{ BC}\). Punkt \(\displaystyle{ A}\) jest punktem przecięcia stycznych wyprowadzonych z \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ DA\cdot DE = DC^{2}}\).
5. W \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), \(\displaystyle{ AC = BC}\). \(\displaystyle{ P}\) jest takim punktem w trójkącie, że \(\displaystyle{ \angle PAB = \angle PBC}\). \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AB}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle APM+\angle BPC = 180^{\circ}}\).
6. Wykaż, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^n = n!}\).
7. Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży wewnątrz czworościanu foremnego \(\displaystyle{ ABCD}\) o krawędzi 1. Proste \(\displaystyle{ AP, BP, CP, DP}\) przecinają odpowiednio ściany \(\displaystyle{ BCD, CDA, DAB, ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ E, F, G, H}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ PE + PF + PG + PH < 1}\).

8. Udowodnij \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}:\binom{2n}{n}\cdot\sqrt{2n}<\sum_{k=0}^{n}\left (\binom{2n-k}{n}\cdot 2^k \right )}\)

9. Znajdź wszystkie takie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p, q}\), dla których \(\displaystyle{ pq\mid 2^p+2^q}\).
10. Znajdź wszystkie trójki liczb pierwszych \(\displaystyle{ (p,q,r)}\) spełniające \(\displaystyle{ p\mid q^r+1,\quad q\mid r^p+1,\quad r\mid p^q+1}\).
11. Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P (x^3 + 1) = P ((x + 1)^3 )}\).
12. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) \(\displaystyle{ \angle ABC = 2 \cdot \angle ACB}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) to środek boku \(\displaystyle{ BC}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AM}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle MDC \le 45^{\circ}}\).

13. Znajdź wszystkie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n}\) spełniające \(\displaystyle{ 3^{n-1}+5^{n-1}\mid 3^{n}+5^{n}}\)
14. Wykaż, że \(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{a}{(\sqrt{bc}+1)^2}\leq 2}\) dla \(\displaystyle{ (a,b,c)\in [0;1]}\)
15. Wykaż, że dla naturalnego \(\displaystyle{ n > 3}\) zachodzi \(\displaystyle{ 6+\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\le\binom{2n}{n}}\)

16. Wykaż, że nie istnieją trójki liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ x^7+y^7=1998^z}\).

17. Niech \(\displaystyle{ p \in \mathbb{P} > 5}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ p^{8n}+3p^{4n}-4\equiv 0 \pmod{5}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) to pewna liczba naturalna.
18. W \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D, E}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB, AC}\). Proste \(\displaystyle{ BE, CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ F}\).
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ BC^2 = BD \cdot BA + CE \cdot CA}\), to punkty \(\displaystyle{ A, D, E, F}\) są współokręgowe.

19. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ f(x^2-y^2) = (x+y)(f(x)-f(y))}\).
20. Znaleźć największą wartość wyrażania \(\displaystyle{ \frac{S(n)}{S(16n)}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z_+}}\), gdzie \(\displaystyle{ S(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby w systemie dziesiętnym.
21. Mamy ciąg zdefiniowany jako \(\displaystyle{ p_0 = 1, p_{n+1}=5p_{n}(5p_n^4-5p_n^2+1)}\). Znajdź \(\displaystyle{ p_n}\).

22. Dany jest wypukły wielokąt \(\displaystyle{ P}\) z \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkami. Trójkat o wierzchołkach w wierzchołkach \(\displaystyle{ P}\) nazywamy dobry jeśli wszystkie boki mają równe długości (czyli jak jest równoboczny ) . Udowodni że jest co najwyżej \(\displaystyle{ \frac{2n}{3}}\) dobrych trójkątów.
23. Znajdź wszystkie dodatnie liczby całkowite, dla których \(\displaystyle{ n^2 | 5^n+1}\).

24. Dowieść, że wśród dowolnych \(\displaystyle{ 100}\) kolejnych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_n = n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1}\) jest co najmniej 86 liczb złożonych.
25. Każdą z liczb \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots , 101}\) umieszczono dokładnie \(\displaystyle{ 101}\) razy w polach tablicy o wymiarach \(\displaystyle{ 101 \times 101}\), po jednej na każdym polu. Udowodnić, że w pewnym wierszu lub w pewnej kolumnie znajduje się co najmniej \(\displaystyle{ 11}\) różnych liczb.

26. Udowodnij dla \(\displaystyle{ x_1,x_2, x_3, \ldots , x_{2011}, y_1, y_2, \ldots , y_{2011}, k \in \mathbb{Z_+}:}\)
\(\displaystyle{ (2x_1^2+3y_1^2)(2x_2^2+3y_2^2) \ldots (2x_{2011}^2+3y_{2011}^2) \neq k^2}\)
27. Rozwiąż w rzeczywistych:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
& |x-y| - \frac{|x|}{x} = -1\\
& |2x - y| + |x+y -1| + |x-y| + y = 1
\end{matrix}\right.}\)
28. Mamy pewny graf \(\displaystyle{ G = (V, E)}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum_{x\in V}d(x)^2=\sum_{\{a,b\}\in E}(d(a)+d(b))}\)

29. Niech \(\displaystyle{ fib_n}\) będzie n-tą liczbą Fibonacciego. Udowodnij, że \(\displaystyle{ fib_{2n+1}\equiv fib_{n+1}^2\mod fib_n^2}\)

30. Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

31. Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 67 innych. Dowieść, że jest na tej sali taka czwórka osób, w której każde dwie osoby się znają. Zakładamy, że jeśli osoba A zna osobę B, to również osoba B zna osobę A.
32. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)}\geq\frac{1}{3}}\) dla \(\displaystyle{ a,b,c > 0}\) i \(\displaystyle{ abc = 1}\).

33. Znajdź wszystkie całkowite dodatnie rozwiązania równania \(\displaystyle{ 2x^6+y^7 = 11}\).
34. Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (x,y,u)}\) spełniające układ równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y=u+12\\ x^{5}+y^{5}=u^{5}+12\end{cases}}\)

35. Wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych \(\displaystyle{ x}\) wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) jest kwadratem pewnego wielomianu.

36. Dane są ciągi wielomianów \(\displaystyle{ (P_n)}\), \(\displaystyle{ (Q_n)}\) określone, jak następuje:
\(\displaystyle{ P_0 = Q_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ P_n(x) = P_{n-1}(x) + x^{2n-1} \cdot Q_{n-1}(x)}\)
\(\displaystyle{ Q_n(x) = P_{n-1}(x) - x^{2n-1} \cdot Q_{n-1}(x)}\)

Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie liczbą współczynników wielomianu \(\displaystyle{ P_n}\) równych 1. Udowodnić, że istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{2^n}}\) i obliczyć ją.

37. Na każdym polu planszy \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawiamy jeden pionek, a następnie wykonujemy ruchy. W jednym ruchu wolno przesunąć dowolny pionek o dwa pola w prawo lub o dwa pola w dół (o ile pole docelowe znajduje się na planszy), usuwając z planszy jeden spośród pionków znajdujących się na polu pomiędzy polem wyjściowym a docelowym (ruch wolno wykonać, o ile taki pionek istnieje). Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\), dla których poprzez ciąg ruchów można doprowadzić do sytuacji, w której wszystkie pionki nieusunięte z planszy znajdują się na jednym polu.

38. Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 = y \\ y^2+y-1 = z \\ z^2+z-1 = x\end{cases}}\) 39. Pokaż, że \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{n}) + cos(\frac{2 \cdot \pi}{n}) + \ldots + cos(\frac{n \cdot \pi}{n}) = -1}\)
40. Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem cyklicznym. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB - CD| + |AD - BC| \geq 2|AC - BD|}\)

41. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), w którym\(\displaystyle{ BC = AC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą wewnątrz tego trójkąta i spełniają zależności \(\displaystyle{ \angle PAC = \angle QBA}\) oraz \(\displaystyle{ \angle PBC = \angle QAB}\). Dowieść, ze punkty \(\displaystyle{ C,P,Q}\) są współliniowe.
42. Wykazać, że nie można obejść koniem całej szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) odwiedzając każde pole tylko jeden raz oraz startując z pola w lewym górnym rogu i kończąc na polu w prawym dolnym rogu.
43. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\), nie będącym równoległobokiem, prosta przechodząca przez środki przekątnych przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że suma pól trójkątów \(\displaystyle{ ABR}\) i \(\displaystyle{ CDR}\) jest równa polu trójkąta ADR.

44. Wyznaczyć najmniejsza֒ liczbę naturalna \(\displaystyle{ n > 1}\), dla której średnia kwadratowa liczb \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots , n}\) jest liczba całkowita.
֒
45. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^3 +2x+1 = 2^n}\) w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ (x,n)}\).
46. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) − x)}\).
47. W sześciokącie wypukłym wszystkie trzy główne przekątne mają długość \(\displaystyle{ > 2}\). Udowodnić, że pewien bok tego sześciokąta ma długość większą od \(\displaystyle{ 1}\).

48. Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n \geq 2}\) istnieje taki zbiór złożony z \(\displaystyle{ n}\) dodatnich liczb całkowitych, że suma dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest podzielna przez ich różnicę.

49. Dla \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R_+}}\) takich, że \(\displaystyle{ abc = 1}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{b(a+b)}\geq\frac{3}{2}}\).

50. Alicja i Bob grają w grę, w której mają dane 3 kupki, w których jest kolejno \(\displaystyle{ a, b, c}\) kamieni, przy czym \(\displaystyle{ a, b, c}\) są całkowitymi dodatnimi parami różnymi liczbami. Ruch polega na wskazaniu kupki i zabraniu z niej dodatniej liczby kamieni, ale przy zachowaniu własności, że żadne 2 kupki nie mają tej samej dodatniej liczby kamieni. Grę wygrywa ten, kto zabierze ostatni kamień. Alicja zaczyna. Udowodnij, że Bob ma strategię wygrywającą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ (a+1) \oplus (b+1) \oplus (c+1)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest operatorem działania XOR.

\(\displaystyle{ \hline}\)
Wszelkie uwagi proszę wysyłać na priv.

Do zrobienia zostały zadania
\(\displaystyle{ 3, 7, 8, 12, 15, 18, 21, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 36, 37, 40, 43, 45, 47, 48, 49, 50}\)

ad 31 ad 39

-- 6 sty 2013, o 22:17 --

ad 35 ad 42 ad 29 -- 9 stycznia 2013, 05:41 --ad 24

48. -- 15 sty 2013, o 20:27 --37.

KPR pisze:

45:    

Musimy mieć \(\displaystyle{ 2^n\ge 2^{x+1}}\), zatem \(\displaystyle{ x^3+1\ge 2^x}\). Przez indukcję pokazujemy, że dla \(\displaystyle{ x>9}\) mamy \(\displaystyle{ x^3+1<2^x}\). Dla \(\displaystyle{ x=10}\) wiadomo. Krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ 2^{x+1}>2\cdot 2^x>2x^3+2>(x+1)^3+2>(x+1)^3+1}\).
Nierówność \(\displaystyle{ 2x^3>(x+1)^3}\) wzięła się stąd, że \(\displaystyle{ 1+\frac1x<\sqrt[3]2}\), więc \(\displaystyle{ \frac{x+1}x<\sqrt[3]2}\), zatem \(\displaystyle{ (x+1)^3<2x^3}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ x<10}\). Poza tym oczywiście \(\displaystyle{ x}\) nieparzyste.
Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ x=1}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ (x,n)=1,2}\).

Co to za blef?? Jakieś zupełnie nie wiadomo skąd zdupny wniosek piszesz "Musimy mieć", a potem z jakimś trywiałem się rozpisujesz na 10 razy dłużej .

-- 15 stycznia 2013, 21:09 --

KPR pisze:

22:    

Zakładamy, że \(\displaystyle{ n\ge5}\), dla mniejszych wiadomo.
Dla każdej pary wierzchołków, których jest \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}2}\) mamy maksymalnie 2 punkty, które dopełniają ją do dobrego trójkąta. Zatem dobrych trójkątów mamy łącznie maksymalnie \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}3}\). Widać, że \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}3\le \frac23\frac{n(n-1)(n-2)}6}\), bo \(\displaystyle{ 6\le 2(n-2)}\).

Hahaha, najpierw zacytowałem 45., ale to drugie w tym rozwiązanie jest jeszcze lepsze, hahahaha xD.
Blefujesz tu więcej niż nawet ja na ćwiczeniach z analizy
Btw to zadanie jest superharde.

-- 15 stycznia 2013, 21:17 --

KPR pisze:

11:    

Niech \(\displaystyle{ Q(x)=P(x^3)}\). Oczywiście wszystkie niezerowe współczynniki \(\displaystyle{ Q}\) stoją przy wykładnikach podzielnych przez 3. Z kolei \(\displaystyle{ Q(x+1)=P((x+1)^3)=P(x^3+1)}\), więc \(\displaystyle{ Q(x+1)}\) też ma niezerowe współczynniki jedynie przy wykładnikach podzielnych przez 3. Z dwumianu Newtona, jeśli \(\displaystyle{ Q(x)}\) ma stopień niezerowy, to w \(\displaystyle{ Q(x-1)}\) jest jednomian o stopniu o jeden mniejszym. Sprzeczność, więc \(\displaystyle{ Q}\) jest stały, więc \(\displaystyle{ P}\) jest stały.

Nie ma to jak proste rozwiązanie, gdy

Btw, jeżeli nie stało się nic złego, to rozw. 50 będziecie mogli przeczytać w marcowej Delcie . A rozw. na szybko teraz nie musicie znać, bo raczej się wam na II etap OM znajomość takich rzeczy nie przyda .

Swistak pisze:

KPR pisze:

45:    

Musimy mieć \(\displaystyle{ 2^n\ge 2^{x+1}}\), zatem \(\displaystyle{ x^3+1\ge 2^x}\). Przez indukcję pokazujemy, że dla \(\displaystyle{ x>9}\) mamy \(\displaystyle{ x^3+1<2^x}\). Dla \(\displaystyle{ x=10}\) wiadomo. Krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ 2^{x+1}>2\cdot 2^x>2x^3+2>(x+1)^3+2>(x+1)^3+1}\).
Nierówność \(\displaystyle{ 2x^3>(x+1)^3}\) wzięła się stąd, że \(\displaystyle{ 1+\frac1x<\sqrt[3]2}\), więc \(\displaystyle{ \frac{x+1}x<\sqrt[3]2}\), zatem \(\displaystyle{ (x+1)^3<2x^3}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ x<10}\). Poza tym oczywiście \(\displaystyle{ x}\) nieparzyste.
Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ x=1}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ (x,n)=1,2}\).

Co to za blef?? Jakieś zupełnie nie wiadomo skąd zdupny wniosek piszesz "Musimy mieć", a potem z jakimś trywiałem się rozpisujesz na 10 razy dłużej .

Treść tego zadania była zmieniana ze sto razy, na początku było tam \(\displaystyle{ x^3+2x+1=2n}\), potem jeszcze coś się zmieniało, a ja wstawiłem rozwiązanie w chwili, gdy tam było \(\displaystyle{ x^3+2^x+1=2^n}\).

Swistak pisze:

KPR pisze:

22:    

Zakładamy, że \(\displaystyle{ n\ge5}\), dla mniejszych wiadomo.
Dla każdej pary wierzchołków, których jest \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}2}\) mamy maksymalnie 2 punkty, które dopełniają ją do dobrego trójkąta. Zatem dobrych trójkątów mamy łącznie maksymalnie \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}3}\). Widać, że \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}3\le \frac23\frac{n(n-1)(n-2)}6}\), bo \(\displaystyle{ 6\le 2(n-2)}\).

Hahaha, najpierw zacytowałem 45., ale to drugie w tym rozwiązanie jest jeszcze lepsze, hahahaha xD.
Blefujesz tu więcej niż nawet ja na ćwiczeniach z analizy
Btw to zadanie jest superharde.

No a tutaj to jeszcze lepiej Ja napisałem rozwiązania do zadania, w którym było coś w stylu "Co najmniej \(\displaystyle{ \frac23}\) trójkątów to dobre trójkąty".

Generalnie, w tym temacie pojawił się już milion postów stylu "zadanie x jest trywialne/błędne/nieskończenie trudne", ale wszystkie zniknęły.