Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność :

\(\displaystyle{ x^4-3x^2 \le |x^2-3|}\)

\(\displaystyle{ |x^2-3| \ge x^4-3x^2}\)

\(\displaystyle{ |x| \ge a \Leftrightarrow -a \ge x \vee x \ge a}\)

\(\displaystyle{ |x^2-3| \ge x^2(x^2-3)}\)

Dochodzę do momentu gdzie przy grupowaniu mam taką sytuację :

\(\displaystyle{ x^2(x^2+1)-3(x+1) \le 0 \vee x^2(x^2-1)-3(x-1) \le 0}\)

I nie wiem co zrobić ... Nie wiem wgl czy dobrze rozwiązałem.
Pomożecie?

Zrobiłbym tak, że z \(\displaystyle{ x^2(x^2+1)-3(x+1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1}\)

A z tego \(\displaystyle{ x^2(x^2-1)-3(x-1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1 \vee x=1_{(2)}}\)

Nie wiem co to za kombinacje. Wyznaczasz miejsca zerowe \(\displaystyle{ x^2-3}\) i rozwiązujesz na przedziałach: \(\displaystyle{ (-\infty,x_1),\langle x_1,x_2),\langle x_2,\infty)}\)

Nwm nie ogarniam

Rozwiązujesz więc układy równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-3 \ge x^4-3x^2 \\ x<- \sqrt{3} \vee x> \sqrt{3} \end{cases}}\)

i

\(\displaystyle{ \begin{cases} -(x^2-3) \ge x^4-3x^2 \\ x>- \sqrt{3} \wedge x< \sqrt{3} \end{cases}}\)

Zrobiłem tak :

\(\displaystyle{ |x^2-3|+3x^2 \ge x^4}\)

\(\displaystyle{ -x^4 \ge x^2+3x-3 \vee x^2+3x-3 \ge x^4}\)

\(\displaystyle{ 0 \ge x^2+x^2+3x+3 \vee -x^4+x^2+3x-3 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x^2(x^2+1)+3(x+1) \le 0 \vee -x^2(x^2-1)+3(x-1) \ge 0}\)

Pomożecie co dalej zrobić?

Hajtowy pisze:Rozwiąż nierówność :

\(\displaystyle{ x^4-3x^2 \le |x^2-3|}\)

w tym wypadku jest wyjątkowo prosto. Przekształcamy do postaci:

\(\displaystyle{ x^2*(x^2-3) \le |x^2-3|}\)

\(\displaystyle{ x^2*(x^2-3) - |x^2-3| \le 0}\)

\(\displaystyle{ |x^2-3|*( x^2*sgn(x^2-3) -1) \le 0}\)

Pierwszy czynnik jest nieujemny a drugi może być ujemny.

co daje nam warunki:

\(\displaystyle{ x^2-3 = 0 \vee ( x^2*sgn(x^2-3) -1) \le 0}\)

dla

\(\displaystyle{ sgn(x^2-3) \le 0}\)

czyli

\(\displaystyle{ - \sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}}\)

nierówność jest spełniona pozostaje sprawdzić

\(\displaystyle{ sgn(x^2-3) > 0}\)

\(\displaystyle{ x^2-1 \le 0}\)

co nie zachodzi nigdy.

P.S Jak ktoś nie lubi sgn, po drugim przekształceniu może rozważyć 2 przypadki:

Pierwszy

\(\displaystyle{ |x^2-3| \ge 0}\)

a wtedy

\(\displaystyle{ |x^2-3|=(x^2-3)}\)

i drugi

\(\displaystyle{ |x^2-3|<0}\)

a wtedy

\(\displaystyle{ |x^2-3|=-(x^2-3)}\)