Matematyka.pl

Mam przykładowo dany zbiór:
\(\displaystyle{ I=\{n^{i}p^{j}|i,j\geq0\}}\), gdzie n i p to liczby całkowitę.

Tworzę grupę \(\displaystyle{ G}\) jako zbiór wszystkich reszt elementów ze zbioru \(\displaystyle{ I}\) modulo \(\displaystyle{ r}\) , gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest liczbą całkowitą i względnie pierwszą do \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\) . Grupa \(\displaystyle{ G}\) jest oczywiście podgrupą \(\displaystyle{ Z_{r}^{*}}\).

W opisie grupy \(\displaystyle{ G}\) mam napisane, że jest ona generowana przez \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\). Nierozumię dlaczego, co to w ogóle znaczy że grupa jest generowana przez 2 elementy ? W tym przypadku oznacza to, że \(\displaystyle{ =}\), tzn. że grupa generowana przez n jest taka sama jak grupa generowana przez p ?

Jeżeli grupa jest generowana przez dwa elementy np. \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to NIE musi to oznaczać, że \(\displaystyle{ =}\). Grupę generowaną przez dwa elementy zapisujemy jako \(\displaystyle{ G=}\).
Aby zrozumieć, że \(\displaystyle{ }\) weźmy np. grupę diedralną \(\displaystyle{ H==\{a^{i}b^{j} : a^{n}=1, b^{2}=1, b^{-1}ab=a^{-1} \}}\). Odrazu widać, że podgrupa \(\displaystyle{ }\) jest rzędu n, a podgrupa \(\displaystyle{ }\) jest rzędu 2. Czyli nie może być równości między tymi podgrupami. Grupę H, możemy zapisać w następujący sposób \(\displaystyle{ H= \ast }\), co widać już z tego, że elementy z H mają postać \(\displaystyle{ a^{i}b^{j}}\).
Wydaje mi się, że tak ogólnie można wytłumaczyć co to znaczy,że grupa jest generowana przez dwa elementy.
Może to trochę Ci pomoże.
Pozdrawiam.

Trochę mi się rozjaśniło, ale nie do końca . Załóżmy, że \(\displaystyle{ (G,\oplus, e)}\) jest grupą. Wtedy jeśli ktoś mi powie, że \(\displaystyle{ a\in G}\) generuje jakąś podgrupę grupy \(\displaystyle{ G}\), to wiem , że to będzie oznaczało, że \(\displaystyle{ =\{e, a, a^{-1}, a\oplus a, a^{-1}\oplus a^{-1},...\}}\). Natomiast nie wiem jak wygląda generowanie grupy przez 2 elementy. Najlepiej by było jakby mi ktoś podał przykład np. na grupie \(\displaystyle{ (Z_{m},+_{m},0)}\), gdzie operacja w tej grupie to dodawanie modulo \(\displaystyle{ m}\)lub najlepiej na przykładzie tej grupy, którą napisałem w moim pierwszym poście, bo tak naprawdę chodzi mi o zrozumienie tego konkretnego przypadku. Dokładnie mam napisane, że grupa \(\displaystyle{ G}\) z mojego pierwszego posta jest generowana przez elementy \(\displaystyle{ p,n}\) modulo \(\displaystyle{ r}\).

grupa generowana przez dwa elementy, to znaczy że bierzesz te dwa elementy, działasz na nich działaniem, otrzymujesz trzeci element, teraz znowu działasz na nim to pierwszym to drugim elementem, otrzymujesz kolejne i tak dalej.

Dzięki, teraz już już wiem o co dokładnie chodzi.