Całka podwójna, objętość - czy dobrze rozumuję?
: 3 sty 2013, o 17:01
Witam, mam kolejne przykłady o które chciałbym zapytać, tym razem miałem pomysł jak je rozwiązać, chcę się upewnić czy dobrze je robiłem, pytam raczej o szczegóły więc mimo tego że mocno się rozpisałem, nie odpowiedzenie nie powinno być czasochłonne
Treść to policzyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami.
a)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2}}+ \frac{z^{2}}{c^{2}}=1 , \ y= \frac{b}{a}x , \ y=0 , \ z=0 , \ x \ge 0}\)
poniżej zamieszczam mój szkic bryły:
całka której użyłem do policzenie objętości to
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{b}{a}x} \sqrt{c ^{2} \left( 1- \frac{x^{2}}{a^{2}} \right) } dydx}\) i policzyłem ją poprzez podstawienie pod pierwiastek \(\displaystyle{ t}\)
Dobrze zostało to zadanie policzone?
b)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=R^{2} , \ z= \frac{x^{3}}{a^{2}} , \ z=0 , x \ge 0}\)
obszar całkowania we współrzędnych biegunowych wyglądał następująco:
\(\displaystyle{ J=r \wedge 0 \le r \le R \wedge 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ V=2 \int_{0}^{R} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r * \frac{r ^{3} cos ^{3} \phi}{ a^{2}} \ d \phi dr}\)
Jednakże na początku wziąłem \(\displaystyle{ 0 \le \phi \le \pi}\) i niestety nie udało się w takiej granicy wyliczyć całki gdyż w trakcie liczenia wewnętrznej całki otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{r^{4}}{a^{2}} \left[ \sin \phi - \frac{sin^{3} \phi}{3} \right] ^{\pi} _{0}}\) co w tych granicach daje 0 i wydaje mi się że nie jest poprawnie, dlaczego tak jest? Jak to powinno wyglądać? -- 5 sty 2013, o 14:57 --To co pomoże ktoś?
Treść to policzyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami.
a)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2}}+ \frac{z^{2}}{c^{2}}=1 , \ y= \frac{b}{a}x , \ y=0 , \ z=0 , \ x \ge 0}\)
poniżej zamieszczam mój szkic bryły:
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{b}{a}x} \sqrt{c ^{2} \left( 1- \frac{x^{2}}{a^{2}} \right) } dydx}\) i policzyłem ją poprzez podstawienie pod pierwiastek \(\displaystyle{ t}\)
Dobrze zostało to zadanie policzone?
b)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=R^{2} , \ z= \frac{x^{3}}{a^{2}} , \ z=0 , x \ge 0}\)
obszar całkowania we współrzędnych biegunowych wyglądał następująco:
\(\displaystyle{ J=r \wedge 0 \le r \le R \wedge 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ V=2 \int_{0}^{R} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r * \frac{r ^{3} cos ^{3} \phi}{ a^{2}} \ d \phi dr}\)
Jednakże na początku wziąłem \(\displaystyle{ 0 \le \phi \le \pi}\) i niestety nie udało się w takiej granicy wyliczyć całki gdyż w trakcie liczenia wewnętrznej całki otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{r^{4}}{a^{2}} \left[ \sin \phi - \frac{sin^{3} \phi}{3} \right] ^{\pi} _{0}}\) co w tych granicach daje 0 i wydaje mi się że nie jest poprawnie, dlaczego tak jest? Jak to powinno wyglądać? -- 5 sty 2013, o 14:57 --To co pomoże ktoś?