Matematyka.pl

Jak wyzanczyć wyraz ogólny szeregu? Mam takie przykłady :
\(\displaystyle{ (1-x)^{-3}}\)
\(\displaystyle{ (1-3x)^{-13}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+3x}{1-2x+x^2}}\)

Yyy chodzi o funkcje tworzące dla szeregów? Tzn znalezienie rozwinięcia danej funkcji w szereg? Bo z tego co napisałeś nie mam pojęcia co trzeba zrobić.

Mam takie polecenie i też nie zbyt wiem o co chodzi. Ale powoli zaczynamy funkcje tworzące, więc pewnie tak

W takim razie do dwóch pierwszych należy zastosować wzór:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-ax)^{m+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n+m\choose n}(ax)^n}\)
A w drugim przypadku najpierw należy rozłożyć na ułamki proste, a następnie zrobić tak samo z każdym otrzymanym ułamkiem, jak w poprzednich przykładach.

Czy więc w przykładzie 1 wynikiem jest :
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2+n\choose n} x^{n}}\) ? Czy trzeba to jakoś wyliczać, lub upraszczać?

Trochę późna odpowiedź z mojej strony, ale w tym przykładzie można jak najbardziej wyliczyć jawnie wartość

\(\displaystyle{ {n+2 \choose n}}\)

Trochę gorzej to będzie wyglądać w przypadku drugiej funkcji - wielomian 12 stopnia. Lepiej więc zostawić symbole Newtona jeśli nie każą ich wyliczać.