Matematyka.pl

\(\displaystyle{ u_{0} =2, u_{1} = 1 - \sqrt{3}, u_{2} = 1 - 2\sqrt{3}, u_{n} = u_{n-3}}\)
Czy mogę prosić o pomoc w utworzeniu równania charakterystycznego? Wzory które znam dziają, gdy posiadam \(\displaystyle{ u_{n+3}, u_{n+2} ...}\) ale co, gdy mam z minusami, tak jak tutaj \(\displaystyle{ u_{n-3}}\) ?

Gdy masz minusy, to wszystko wygląda tak samo. Równanie \(\displaystyle{ u_n=u_{n-3}}\) jest identyczne z równaniem \(\displaystyle{ u_{n+3}=u_n}\). Różnica polega tylko na tym, że pierwszy wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n\geq 3}\), natomiast drugi dla \(\displaystyle{ n\geq 0}\).

Równanie charakterystyczne w tym przypadku ma postać \(\displaystyle{ t^3=1}\).

Tylko w tym wypadku wychodzi mi jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ t=1}\) i rekurencja miałaby postać:
\(\displaystyle{ U_{n} = A*1^{n}}\) i po podstawieniu \(\displaystyle{ u_{0}=2}\) otrzymuję \(\displaystyle{ U_{n}=2}\) co nie spełnia \(\displaystyle{ u_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ u_{2}}\).

\(\displaystyle{ t^{3}=1}\)

Ma że tak powiem 3 rozwiązania i dopiero można mówić o dobrej rekurencji

Zgadzam się. Rozwiązania równań rekurencyjnych zawsze znajdujemy w zbiorze liczb zespolonych! Nic nie szkodzi, że wychodzą urojone liczby. Późniejsze przekształcenia na wzorze ogólnym pozwalają pozbyć się części zespolonej.