Matematyka.pl

Witam,
Jak policzyć ile w grupie \(\displaystyle{ \ZZ _{15} \times \ZZ _{15}}\) jest podgrupy izomorficznych z \(\displaystyle{ \ZZ _{15}}\). Myślę, że powinien tu zadziałać argument z rzędami - w \(\displaystyle{ \ZZ _{15}}\) jest osiem elementów rzędu \(\displaystyle{ 15}\), cztery rzędu \(\displaystyle{ 5}\) i dwa rzędu \(\displaystyle{ 3}\), ale gubię się w tym.

\(\displaystyle{ Z_{3}^{'} \times Z_{5}^{'}}\)

\(\displaystyle{ Z_{5}^{'} \times Z_{3}^{'}}\)

\(\displaystyle{ Z_{15} \times \{0\}}\)

\(\displaystyle{ \{0\} \times Z_{15 }}\)

\(\displaystyle{ \{(0,0),(1,1),(2,2),...,(14,14) \}}\)

\(\displaystyle{ Z_{3}^{'}}\) np to podgrupa grupy \(\displaystyle{ Z_{15}}\) trzy-elementowa \(\displaystyle{ \{0,5,10\}}\)

izomorficzna z \(\displaystyle{ Z_{3}=\{0,1,2\}}\)

\(\displaystyle{ Z_{5}^{'}}\) np to podgrupa grupy \(\displaystyle{ Z_{15}}\) pięcio-elementowa \(\displaystyle{ \{0,3,6,9,12\}}\)

izomorficzna z \(\displaystyle{ Z_{5}=\{0,1,2,3,4\}}\)