Matematyka.pl

Mam do policzenia pochodne następujących funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=x^{\sin x}}\) i \(\displaystyle{ g(x)=(\sin x)^x}\). Licząc wg wzoru \(\displaystyle{ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}}\) i pochodnej sinusa otrzymuję wynik \(\displaystyle{ \sin x \cdot x^{\sin x -1}}\). Wpisując tę funkcję do WolframAlpha otrzymuję jednak wynik \(\displaystyle{ \sin x \cdot x^{\sin x -1} + x \log x \cos x \cdot x^{\sin x -1}}\). Domyślam się, że jest tam użyty wzór \(\displaystyle{ (a^x)'=(\ln a) \cdot a^x}\), ale dlaczego, skoro pochodną potęgi policzyliśmy już wcześniej? Czy chodzi o to, że w naszej funkcji zmienia się zarówno podstawa potęgi, jak i wykładnik i najpierw przyjmujemy, że stały jest wykładnik i liczymy z jednego wzoru, a później przyjmujemy, że stała jest podstawa potęgi i liczymy z drugiego wzoru i obie dodajemy?

Czym będzie się różnić liczenie pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), a pochodnej \(\displaystyle{ g(x)}\)?

Czy mógłby ktoś mi to wyjaśnić, bo przeglądając dotychczasowe tematy odpowiedzi na moje wątpliwości niestety nie znalazłem.

z pierwszego wzoru korzystać nie możesz

Hmmm, jeśli mógłbyś wytłumaczyć dlaczego byłoby super. Z niego korzystam jedynie w sytuacjach gdy zmienną podnoszę do stałej potęgi, tak? Ale wydaje mi się, że program go wykorzystał, a zakładam, że ten wynik jest dobry (?).

Z niego korzystam jedynie w sytuacjach gdy zmienną podnoszę do stałej potęgi, tak?

zgadza sie

W takim razie gdyby ktoś mógłby podpowiedzieć jak prawidłowo ruszyć z liczeniem tej pochodnej byłbym bardzo wdzięczny.

\(\displaystyle{ a ^{b}=e ^{...}}\)

jaki wzór?

W tych przypadkach trzeba zastosować tzw. pochodną logarytmiczną.

\(\displaystyle{ y=x^{\sin x}\\ \ln y = \ln x^{\sin x} \\ \ln y = \sin x \ ln x \\ \left( \ln y\right)' = \left( \sin x \ln x\right)'\\ \frac{1}{y} \cdot y'= \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \sin x \\ y'=x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \sin x\right)}\)

Analogicznie zrób drugi przykład.