Matematyka.pl

Znajdź wzór na sumę:

\(\displaystyle{ S_{n}(x) = 1 + 2x +3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}}\)

Jest to zadanie nr. 89 ze strony 27 z książki "Matura z matematyki cz. 2" autora Andrzeja Kiełbasy.

Znajduje się w poddziale o ciągu geometrycznym.
Jest to zadanie z gwiazdką, więc trochę trudniejsze niż pozostałe. Próbowałem je zrobić, ale prawdę mówiąc, nie mam żadnego pomysłu na to jak się zabrać za to zadanie :/.

Zauważ, że mamy \(\displaystyle{ S_n(x)=\left(x+x^2+\dots+x^n)'}\) i tu masz swój ciąg geometryczny. Znajdź jego sumę, a potem zróżniczkuj, czyli oblicz jej pochodną.

Bez pochodnych... trzeba pokombinować. Moje rozwiązanie jest rutynowe.

\(\displaystyle{ S_{n} = 1 + 2x +3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}}\) (1) mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\) i mamy

\(\displaystyle{ S_{n}x = x +2x^{2}+3x^{3}+...+nx^{n}}\) (2)

od (1) odejmujemy (2) i mamy:

\(\displaystyle{ S_{n}(1-x) = 1+x +x^{2}+x^{3}+...+x^{n-1}-x^{n}}\)

\(\displaystyle{ S_{n}(1-x) = \frac{1(1-x ^{n} )}{1-x} -x^{n}}\)
.............................
.............................
.............................
po przekształceniach otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{nx ^{n+1} +1-(n+1)x ^{n} }{(1-x) ^{2} }}\)