Matematyka.pl

Wykaż, że do wykresu funkcji \(\displaystyle{ y= \sqrt{2}x- \sqrt{3}}\) nie należy żaden punkt o obu współrzędnych wymiernych. Przeprowadź dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.
Nie wiem jak to zrobić, mam nadzieję, że ktoś pomoże.

Uznajmy że \(\displaystyle{ x}\) jest wymierne czyli \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b}}\) dla \(\displaystyle{ a,b}\) całkowitych i \(\displaystyle{ b \neq 0}\) i pokażemy że \(\displaystyle{ a}\) nie może być całkowite.

\(\displaystyle{ y= \sqrt{2} \cdot \frac{a}{b}- \sqrt{3} \ \ \ \ \ | \cdot b \\ y \cdot b= \sqrt{2} b \cdot \frac{a}{b} -\sqrt{3}b \\ y \cdot b= \sqrt{2} a- \sqrt{3} b \\ y \cdot b+ \sqrt{3} b= \sqrt{2} a \\ \\ a= \frac{y \cdot b+ \sqrt{3} b}{ \sqrt{2} } =\frac{y \cdot b}{ \sqrt{2} }+ \sqrt{ \frac32 } \cdot b}\)

Liczba \(\displaystyle{ a}\) nie może być całkowita, bo:

\(\displaystyle{ \frac{y \cdot b}{ \sqrt{2} }}\) jest niewymierna (wymierna podzielona przez niewymierną daje niewymierną)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac32 } \cdot b}\) jest niewymierna (niewymierna razy wymierną daje niewymierną)

Jeszcze wypada udowodnić (podobnie) że dla \(\displaystyle{ y= \frac{a}{b}}\) iks nie może wyjść wymierny.

Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.

loitzl9006 pisze: ↑20 gru 2012, o 17:05 Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.

niestety to nieprawda

Przy założeniu że `x, y` są wymierne przeniesienie składnik z pierwiastkiem z dwóch na lewą stronę, podnieś obie strony do kwadratu i uzyskaj sprzeczność

loitzl9006 pisze: ↑20 gru 2012, o 17:05 Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.

\(\displaystyle{ a = \sqrt{2}, b = 2 - \sqrt{2}}\) obydwie liczby są niewymierne, natomiast ich suma jest wymierna