Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{ x^{2}-1 } }}\)

prosze o pomoc:))))

Na pierwszy rzut oka podstawienie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{t}}\), \(\displaystyle{ \mbox{d}x = -\frac{1}{t^2} \mbox{d}t}\).

Lepiej pierwsze podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-1}=t-x}\)

Lepiej? W jakim sensie, moje podstawienie daje znaną całkę z arcusa, a Euler zbędne licznie.

"Euler" też da arcusa tyle że bez ułamków
Oczywiście zamiast podstawienia Eulera można w tym przypadku podstawić za pierwiastek
albo...

\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}x }{1+\left( x^2-1\right) } \cdot \frac{x}{ \sqrt{x^2-1} } }}\)

Widać od razu że wynikiem będzie arcus tangens z pierwiastka (z dokładnością do stałej)
Z podstawieniem Eulera byłoby podobnie

Ja tam nie wiem, ale jak dla mnie, to za dużo kombinowania z Eulerem jest .
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{ x^{2}-1 } } \mbox{d}x = - \int_{}^{} \frac{t}{ \sqrt{ \frac{1}{t^2}-1 } } \frac{1}{t^2}\mbox{d}t = - \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{ 1 - t^2 } }\mbox{d}t = \arccos{ \frac{1}{x}}+ C}\)