Matematyka.pl

Mógłby ktoś rozwiązać te zadania? Chce mieć wzór jak to powinno się robić i czegoś się nauczyć.

1. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie:
a) \(\displaystyle{ z^2 - 3z + 3 + i = 0}\)

2. Obliczyć
a) \(\displaystyle{ (1- \sqrt{3i})^7}\)
b) \(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i)^7}\)
Wynik przedstawić w postaci algebraicznej.

3. Rozwiązać równanie:
a) \(\displaystyle{ z^4=(1+i))^8}\)
b) \(\displaystyle{ z^3=(1+i))^6}\)

Wklejam zdjęcie jako dowód żeby nie było że coś źle przepisałem, szczególnie pewnie będzie chodzić o te podójne nawiasy w 3 zadaniu, może literówka? Wy będziecie wiedzieli lepiej:

Ad 1)

Delta. I dalej jak równanie kwadratowe.

Ad 2)

Zamień na postać trygonometryczną i potęguj zgodnie ze wzorem.

1. Zwykłe równanie kwadratowe. Wyliczasz \(\displaystyle{ \Delta}\) itd. jak przy zwykłym (czyt. rzeczywistym) równaniu kwadratowym, z tą różnica, że jak wyjdzie ujemne (a tutaj wyjdzie) to będąc w zbiorze liczb zespolonych mamy dwa pierwiastki w dalszym ciągu i wyliczasz normalnie pierwiastek z tej delty, a z tego znajdujesz dwa pierwiastki.

2. \(\displaystyle{ (1- \sqrt{3i})^7 = (1-\sqrt{3i})^4 \cdot (1-\sqrt{3i})^3 = \left( (1-\sqrt{3i})^2\right)^2 \cdot (1-\sqrt{3i})^3}\)

Dalej już tylko wzory skróconego mnożenia zastosować. Podpunkt b) analogicznie. Możesz też zamienić na postać trygonometryczną i ze wzoru na potęgowanie ale to niepotrzebne komplikowanie sobie życia (potem trzeba wrócić na algebraiczną).

3. Coś nie tak wyszło z nawiasami, popraw, żeby było dokładnie wiadomo jak mają być.

pawellogrd pisze: 3. Coś nie tak wyszło z nawiasami, popraw, żeby było dokładnie wiadomo jak mają być.

Tak mam na kartce, widocznie literówka więc odejmijcie ten 1 nawias.

Tak będzie te 1 zadanie?:

1. \(\displaystyle{ \Delta=3^2-4(3+i)=-3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1-2i}\) gdyż \(\displaystyle{ (1-2i)^2=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ z_1=\frac{3-1+2i}{2}=1+i}\)
\(\displaystyle{ z_2=\frac{3+1-2i}{2}=2-i}\)

I czy Mógłby ktoś rozwiązać reszte do końca tak jak powinny te zadania byc rozwiazane w pełni? Byłbym wdzięczny i zaoszczędziło by mi to zbędnych pytań czy wątpliwości czy mam dobrze.

1. Jest ok

2. Przecież napisałem Ci jak je zrobić, chyba wzór skróconego mnożenia potrafisz użyć.

3. Zakładając, że masz \(\displaystyle{ z^4=(1+i)^8}\) to wiesz, że \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{(1+i)^8}}\) więc ze wzoru de Moivre'a możesz to obliczyć (zarówno a), jak i b) ).

pawellogrd pisze: 2. Przecież napisałem Ci jak je zrobić, chyba wzór skróconego mnożenia potrafisz użyć.

Wzór skróconego mnożenia?
A czego? Myślałem że to już zrobione.

Zrobisz to do końca?
Nie kumam tego :/

np. ten wzór \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\) użuj do obliczenia \(\displaystyle{ (1-\sqrt{3i})^2}\)

Aa ok czyli będzie coś takiego?:

\(\displaystyle{ 1-2\sqrt{3i} + 9i}\)

tutaj \(\displaystyle{ b=\sqrt{3i} \Rightarrow b^2=3i}\), no i policz dalej do końca to, co rozpisałem wcześniej używając wzorów skróconego mnożenia, w tym właśnie tego