Matematyka.pl

Witam.
Mam: Wykaż, że \(\displaystyle{ n^7-n}\)jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).
Więc:
\(\displaystyle{ n^7-n = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) =
=(n-1)(n)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)}\)
Dalej nie mam żadnego pomysłu
Więc pomyślałem, że wyłamię to łomem, tzn, sprawdzę każdą możliwość.
Na mocy twierdzenia o dzieleniu całkowitym z resztą, mamy, że
\(\displaystyle{ n= 7k + 0 \wedge k \in C \\
n=7k+1 \\
n=7k+2 \\
n=7k+3 \\
n=7k+4 \\
n=7k+5 \\
n=7k+6}\)
To jest 7 przypadków, ale mogę je zapisać nieco inaczej.
\(\displaystyle{ n= 7k + 0 \\
n=7k+1 \\
n=7k+2 \\
n=7k+3 \\
n=7k-3 \\
n=7k-2 \\
n=7k-1}\)

I teraz każdy z nich sprawdzę. Wiadomo, że muszę podstawić do któregoś nawiasu, żebym otrzymał siódemkę, ale z tym sobie już poradzę - na oko mniej więcej oceniam, gdzie warto, podstawić aby otrzymać 7, a jeśli jest ona w iloczynie, to cały iloczyn jest podzielny przez 7.
Pytanie czy taki dowód na maturze przejdzie ?

\(\displaystyle{ n ^{2}-n+1=(n-3)(n+2)+7}\)
\(\displaystyle{ n ^{2}+n+1=(n+3)(n-2)+7}\)


\(\displaystyle{ n^7-n = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) = \\
=(n-1)(n)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)= \\ =(n-1)(n)(n+1)\left[(n-3)(n+2)+7 \right] \left[(n+3)(n-2)+7 \right]= \\ =[(n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)+7(n-1)(n)(n+1)]\left[(n+3)(n-2)+7 \right]= \\= (n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)(n+3)(n-2)+ \\ +7(n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)+7(n-1)(n)(n+1)(n+3)(n-2)+ \\ +49(n-1)(n)(n+1)}\)

hmmm, moje pytanie było inne.

Jeśli sprawdzisz poprawnie każdy przypadek to powinna być maksymalna punktacja za zadanie. Niestety, to może być nie do zrobienia w krótkim czasie. Inna sprawa, to że wystarczy skorzystać z małego tw. Fermata, które mówi niemal dokładnie to co teza dla \(\displaystyle{ p=7}\).

Z pewnością przyjrzę się temu twierdzeniu
A znowu tak długo to nie trwało, rozwiązanie tamtego zadania
Metoda jest uniwersalna na podobne zadanka

Ew. na poziomie matury narzuca się dowód indukcyjny, który nie będzie zbyt długi.

ale to jest zbiór liczb całkowitych, zapomniałem napisac.

\(\displaystyle{ (-n)^7 - (-n) = -(n^7-n)}\)

więc wystarczą nam liczby nieujemne do dowodu.

każda liczba do 7 daje tą samą resztę z dzielenia przez 7 co ta liczba
\(\displaystyle{ 0 ^{7} =0}\) reszta 0
\(\displaystyle{ 1 ^{7}=1}\) reszta 1
\(\displaystyle{ 2 ^{7} =128}\)-reszta 2
\(\displaystyle{ 3 ^{7}= 2187}\) reszta 3
\(\displaystyle{ 4 ^{7}=16384}\) reszta 4
itd
fajny sposób trochę cwany i trzeba na to wpaść.sam go dostałem od innego użytkownika
działa też dla wykazania że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) podzielne przez 5

Zordon pisze:Jeśli sprawdzisz poprawnie każdy przypadek to powinna być maksymalna punktacja za zadanie. Niestety, to może być nie do zrobienia w krótkim czasie. Inna sprawa, to że wystarczy skorzystać z małego tw. Fermata, które mówi niemal dokładnie to co teza dla \(\displaystyle{ p=7}\).

Być może trochę się czepiam, ale miałem rozszerzoną matematykę w liceum przez 3 lata i nigdy nie słyszałem o małym twierdzeniu Fermata. Być może program się zmienił i to twierdzenie jest w podręcznikach tak, że każdy może z niego korzystać?

Na poziomie szkolnym najpewniej robiłbym to indukcją, albo tak łopatologicznie, jak w pierwszym poście.

Generalnie nikt nie broni aby na maturze korzystać z twierdzeń spoza materiału liceum. Małe twierdzenie Fermata jest elementarne, znane nawet bardziej ambitnym gimnazjalistom.

Masz rację, nikt nie broni. Jeśli ktoś je pozna, czemu nie. Być może pisałem tak agresywnie dlatego, że w moim liceum nie było praktycznie wcale olimpijczyków, którzy rozwiązywaliby wiele zadań korzystając z mniej lub bardziej elementarnych twierdzeń. W szczególności jak patrzę na dział kółko matematyczne albo olimpiady i czytuję co niektóre rozwiązania, to przewracam się.