Matematyka.pl

rozwiąż równanie :

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^{2}_{0,5}sinx} +(sinx)^{log_{0,5}sinx}=1}\)

Poprawiłam zapis
Lady Tilly

korzystajac z wlasnosci logarytmu bedzie \(\displaystyle{ sin^2x+sinx=1}\)

no i juz łatwiutko


zal. \(\displaystyle{ sinx>0}\)

\(\displaystyle{ log_{0,5}sinx=t}\) wówczas \(\displaystyle{ 0,5^{t}=sinx}\)
\(\displaystyle{ 2{\cdot}2^{-t^{2}}=2^{0}}\)
\(\displaystyle{ 1-t^{2}=0}\) rozwiązaiem jest t=1 dlatego, że \(\displaystyle{ 0,5^{1}=sinx}\)
nie ma takiego x dla którego \(\displaystyle{ sinx=0}\)

upss ale namieszalam , teraz to zauwazylam

Albo można i tak, bez podstawiania.

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}+((\frac{1}{2})^{log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}})^{log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=1}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}=1}\)

\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}=1\, \, log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}=-1}\)

Drugie odrzucamy, bo sinus nigdy nie jest równy 2. Z pierwszego mamy:

\(\displaystyle{ \sin{x}=\frac{1}{2}}\)

Zlodiej pisze:Albo można i tak, bez podstawiania.

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}+((\frac{1}{2})^{log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}})^{log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=1}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}=1}\)

\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}=1\, \, log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}=-1}\)

Drugie odrzucamy, bo sinus nigdy nie jest równy 2. Z pierwszego mamy:

\(\displaystyle{ \sin{x}=\frac{1}{2}}\)

w 2 linijce jak to obliczyles, ze wyszlo 1/2? bo nie kapuje

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}+((\frac{1}{2})^{log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}})^{log_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=1}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}+(\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=1}\)

\(\displaystyle{ 2(\frac{1}{2})^{log^2_{\frac{1}{2}}{\sin{x}}}=1}\)

Podzieliłem obustronnie przez 2

W odpowiedziach do tego zadania jest wynik - \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{5 \pi}{6}+2k \pi}\). Czy ktoś zauważa jakieś błędy w tym rozwiązaniu?