Matematyka.pl

Ostatnio na zajęciach z matmy mieliśmy dośc duży problem, na który nie potrafiła odpowiedzieć nawet nasza pani ćwiczeniowiec otóż:

Liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{-1}{e}^- } ln( \frac{1}{x}+e)}\)

i pytanie, które rozumowanie jest poprawne (i dlaczego?):

1) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{-1}{e}^- } ln( \frac{1}{x}+e) = ln (-e^- +e)=ln 0^-}\)
bo [w uproszczeniu] do liczby nieco mniejszej niż -e dodajemy e, czyli mamy coś trochę mniejszego od 0

2) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{-1}{e}^- } ln( \frac{1}{x}+e) = ln (-e^- +e)=ln (e-e^-)=ln 0^+}\)
bo od e odejmujemy liczbę trochę mniejszą od e czyli zostanie liczba trochę większa od zera

Być może pytanie wyda się komuś zbyt proste, bo chodzi tu tylko o samo rozumowanie, ale skoro zagięło to naszego ćwiczeniowca to stwierdziłem, że się tu nadaje

Poprawne jest rozumowanie 2) (z tym, że zgubiono tam niewłaściwie minus)
\(\displaystyle{ x\to\left(-\frac{1}{e}\right)^-}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\to\left(\frac{1}{-\frac1e}}\right)^+}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac1x\to(-e)^+}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \frac1x+e\to(-e)^++e\to 0^+}\)

Po pierwsze
1) Wystarczyło policzyć odwrotność e w przybliżeniu \(\displaystyle{ \Leftrightarrow 0,36787944}\)
2) Dołożyć minus \(\displaystyle{ \Leftrightarrow -0,36787944}\)
3) Wygenerować liczbę "ciut mniejszą" \(\displaystyle{ \Leftrightarrow -0,3679}\)
4) Policzyć odwrotność \(\displaystyle{ \Leftrightarrow -2,7181299}\)
5) Dodać e \(\displaystyle{ \Leftrightarrow e+ (-2,7181299) = 2,718281 -2,7181299 \approx 0,000152 \Rightarrow 0^+}\)

Po drugie gdyby wyszło \(\displaystyle{ \ln0^-}\) to znaczy że nie można by było liczyć granicy lewostronnej dla tego argumentu, a to można sprawdzić znajdując dziedzinę tej funkcji.

Po trzecie oba wpisy kursywą znaczą dokładnie to samo a prowadzą do sprzecznych wniosków - ktoś tu jest z logiką na bakier. Czy to Twoje rozumowanie czy żywcem przeniesione z rozumowania nauczycielki?

Po czwarte
Gdy masz liczbę "troszkę" mniejszą i robisz jej odwrotność to masz liczbę troszkę większą i odwrotnie. Dlatego jeśli masz liczbę \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{a} \right)^-}\) to po odwróceniu masz \(\displaystyle{ a^+}\)