Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin \left( x- \frac{\pi}{3} \right) }{1-2\cos \left( x \right) }}\)
Nie mam pojęcia jak to zrobić bez de l'Hospitala.. Próbowałem już pozbyć się sinusa z tego że \(\displaystyle{ \frac{\sin \left( x \right) }{x}}\) zbiega do 1 ale nic mi to nie dało. Próbowałem też z różnych zależności trygonometrycznych, nawet z połówkowych ale mam już pomysłu.

Ile wynosi: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{3}} \frac{x- \frac{\pi}{3} \ }{1-2\cos \left( x \right) }}\) ?

Pomysł z pozbyciem się sinusa w ten sposób jest dobry
W mianowniku ze wzoru na różnicę cosinusów należy skorzystać
a następnie po raz wtóry skorzystać z tej granicy którą podałeś

Ej ale tu na pałę można wstawić \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\), nawet nie trzeba korzystać z tego że sinus jest niemal równy argumentowi dla małych argumentów

Weźmy \(\displaystyle{ y=x- \frac{ \pi }{3}}\). Widać, że \(\displaystyle{ y \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ x=y+ \frac{ \pi }{3}}\). Zastosuj wzór na \(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )}\).