Matematyka.pl

Hej. Mam problem z przeciwobrazem tych funkcji :

a)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2 - 3x + 2 \\
f^{-1} \left( \left( - \infty ;-6 \right) \right)}\)

Mam taki pomysł :

\(\displaystyle{ x^2 - 3x + 2 > -6 \\
x^2 - 3x + 8 < 0 \\

\Delta < 0}\)

Odpowiedź to : \(\displaystyle{ 0}\).

b)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin x + 1 \\
f^{-1} \left( \left( \frac{1}{2} , + \infty \right)}\)

Tutaj znowu próba rozwiązania :

\(\displaystyle{ \sin x + 1 = \frac{1}{2} \\
\sin x = -\frac{1}{2}}\)

I? Jak pozbyć się sinusa?

Proszę o pomoc.

Pierwsze zadanie jest zrobione źle. Ponieważ jest to funkcja kwadratowa, wystarczy nam wyznaczyć jej wierzchołek (a konkretnie współrzędną igrekową).
\(\displaystyle{ f(x) = x^2 - 3x + 2=(x-1,5)^2-0,25}\)
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, więc przeciwobraz to \(\displaystyle{ [-0,25;+infty)}\)

Drugie zadanie
\(\displaystyle{ \sin x \in [-1;1]}\)
\(\displaystyle{ \sin x +1 \in [0;2]}\)

maciejsporysz pisze:przeciwobraz to \(\displaystyle{ [-0,25;+infty)}\)

To oczywiście nieprawda, proponuję, żebyś zaczął od sprawdzenia czym się różni obraz od przeciwobrazu.

Proponowany przez autorkę tematu początek rozwiązania pierwszego zadania jest w porządku, ale nierówność:
\(\displaystyle{ x^2-3x+2<-6}\)
jest oczywiście równoważna:
\(\displaystyle{ x^2-3x+8<0}\)
a ta nie ma rozwiązań. Stąd:
\(\displaystyle{ f^{-1} \left( \left( - \infty ;-6 \right) \right)= \emptyset}\)

W drugim zadaniu chcemy, żeby:
\(\displaystyle{ \sin x + 1 > \frac 12}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sin x > -\frac 12}\)
a to prosta nierówność trygonometryczna, której rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\)
i taki właśnie jest przeciwobraz żądanego zbioru.

Q.

Qń pisze:a to prosta nierówność trygonometryczna, której rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\)
i taki właśnie jest przeciwobraz żądanego zbioru.

Zaryzykowałbym nawet

\(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\ZZ} \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right)}\).

JK

Ta odpowiedź w 1 zadaniu była spisana z podręcznika, jednak gafa była moja, bo ten zbiorek jako 0 oznacza zbiór pusty.
Czyli myślałam dobrze, dziękuję za potwierdzenie .

A jeśli chodzi o tego sinusa

\(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{2}}\)

Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\) ?

myszka9 pisze:A jeśli chodzi o tego sinusa

\(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{2}}\)

Raczej \(\displaystyle{ \sin x > -\frac{1}{2}}\).

myszka9 pisze:Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\) ?

Wiesz jak wygląda wykres funkcji sinus?

JK

A hipotetycznie gdyby było \(\displaystyle{ \sin x < \frac{1}{2}}\)
to rozwiązaniem jest :
\(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{6} -2k\pi ; \frac{7\pi}{6} -2k\pi \right)}\).

Nie. Rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\ZZ}\left( \frac{5}{6}\pi+2k\pi,\frac{13}{6}\pi+2k\pi \right)}\).

JK