Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{q} \mbox{ gdy } x=\frac{p}{q}\quad NWD(p,q)=1 \\ 0\mbox{ gdy } x\mbox{ jest liczbą niewymierną}\end{cases}}\)

1) jaka wartość przyjmuje ta funkcja dla \(\displaystyle{ x=0}\)? i dlaczego.

Przedstawienie zera jako nieskracalnego ułamka to \(\displaystyle{ \frac 01}\), więc mamy \(\displaystyle{ f(0)=1}\).

Q.

2) w jakich punktach jest ciągła. a w jakich nie.

Może zacznij od podzielenia się swoimi przemyśleniami?

Q.

Czy nie będzie analogicznie jak w funkcji dirichleta ?

spotkałem się z dwoma dowodami def. Heinego i Cauchego. W tym pierwszym jest jak dla mnie dużo niejasności np. autor przyjmował \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Natomiast w drugim dochodzę do innych wniosków niż autor ( zad 2 ) jak dla mnie \(\displaystyle{ |f(x)-f(c)| \ge \frac{1}{N}}\) i to by dawało, że funkcja jest nie ciągła przykładowo dla \(\displaystyle{ N=6}\) chyba, że źle rozumiem dowód.

Wybierając odpowiednio małe \(\displaystyle{ \delta}\) wykluczasz, żeby były tam liczby wymierne z mianownikiem mniejszym lub równym niż \(\displaystyle{ N}\).