Matematyka.pl

Wyznacz granice ciągów:
a)\(\displaystyle{ \frac{2^n \cdot n!}{n^n}}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{(n!)^2}{(2n)!}}\)

Próbowałem coś szacować ale zbytnio nic mi nie wychodzi z tego

z zasady 3 ciągów

\(\displaystyle{ n! < n^2}\) dzięki temu tworzymy ciąg większy od szukanego \(\displaystyle{ g(n) = \frac{2^n}{n^{n-2}}}\)

dla n>5 licznik jest mniejszy od mianownika. można to łatwo udowodnić indukcją matematyczną...a więc granica w zerze.

\(\displaystyle{ n^n < (2n)!}\) dzięki czemu powstaje nam ciąg mniejszy od szukanego \(\displaystyle{ h(n) \frac{2^n*n!}{(2n)!}}\)

tu też indukcją udowadniasz że licznik mniejszy od mianownika dla n=2,3,4....

możesz też indukcją udowodnić iż licznik<mianownika dla ciągu z zadania....ale to troszkę trudniejszy dowód.