Matematyka.pl

sprawdź cykliczność
\(\displaystyle{ Z_4 \times Z^*_3

Z_3^*\times Z_3}\)

Jeżeli grupa jest cykliczna, to istnieje taki element, dla którego podgrupa generowana przez ten element daje całą tę grupę.

teorie znam ale nie umiem jej zastosować w przykładach, w dodatku nie bardzo wiem jak wszystko zapisać aby oznaczenia były prawidłowe, niestety z panią na ćwiczeniach nie bardzo pracujemy

Generatorem grupy \(\displaystyle{ Z_4}\) jest element 1 oraz element 3. Dlaczego? Bo rząd elementu 1 to 4, a także rząd elementu 3 to 4. A teraz generatorem grupy \(\displaystyle{ Z_3 ^{x}}\) jest liczba 2, bo rząd 2 wynosi 2. Wobec tego generatorem jest para (1,2) oraz (3,2). Analogicznie dla następnego przykładu.
Pzdr