wzór na odległość punktu od prostej- wyprowadzanie

Archiwum kompendium.
Awatar użytkownika
nuclear
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1501
Rejestracja: 22 paź 2006, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 264 razy

wzór na odległość punktu od prostej- wyprowadzanie

Post autor: nuclear » 16 mar 2007, o 22:24

powiedzmy że mamy zadanie

Kod: Zaznacz cały

znajdź odległość punktu P(x0;y0) i prostej o równaniu Ax+By+C=0
nie jest to trudne ponieważ jest gotowy wzór lecz ja postaram sie wyjaśnić skąd on się wziął

zaczynamy od rysunku
[img]http://img127.imageshack.us/img127/5853/rys2lj2.jpg[/img]

mając daną prostą Ax+By+C=0 prosta prostopadła do niej ma wzór Bx-Ay+C'=0
dalej P(x0;y0) \(\displaystyle{ Bx_0-Ay_0+C'=0 \rightarrow C'=Ay_0-Bx_0}\)
liczymy współrzędne punktu M (leży na 2 prostych)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} Bx-Ay+Ay_0-Bx_0=0|\cdot B\\Ax+By+C=0|\cdot A \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} B^2x-ABy+ABy_0-B_2x_0=0\\A^2x+ABy+AC=0 \end{array}}\) dodajemy stronami

\(\displaystyle{ A^2x+B^2x+ABy_0-B_2x_0+AC=0}\)
\(\displaystyle{ (A^2+B^2)x=B^2x_0-AC-ABy_0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{B^2x_0-AC-ABy_0}{A^2+B^2}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} Bx-Ay+Ay_0-Bx_0=0|\cdot -A\\Ax+By+C=0|\cdot B \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}-ABx+A^2y-A^2y_0+ABx_0=0\\ABx+B^2y+BC=0\end{array}}\) dodajemy stronami

\(\displaystyle{ A^2y+B^2y-A^2y_0+BC+ABx_0=0}\)
\(\displaystyle{ (A^2+B^2)y=A^2y_0-BC-ABx_0}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{A^2y_0-BC-ABx_0}{A^2+B^2}}\)

reasumując \(\displaystyle{ M=(\frac{B^2x_0-AC-ABy_0}{A^2+B^2};\frac{A^2y_0-BC-ABx_0}{A^2+B^2})}\)

wiedząc że wzór na odległość 2 punktów to \(\displaystyle{ d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\) liczymy odległość punktów MP która jest odległością punktu P od prostej Ax+By+C=0
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(\frac{B^2x_0-AC-ABy_0}{A^2+B^2}-x_0)^2+(\frac{A^2y_0-BC-ABx_0}{A^2+B^2}-y_0)^2}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(\frac{B^2x_0-AC-ABy_0-B^2x_0-A^2x_0}{A^2+B^2})^2+(\frac{A^2y_0-BC-ABx_0-A^2y_0-B^2y_0}{A^2+B^2})^2}}\)

\(\displaystyle{ d=\sqrt{[\frac{-A(C+By_0+Ax_0}{A^2+B^2}]^2+[\frac{-B(C+Ax_0+By_0}{A^2+B^2}]^2}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{\frac{A^2(C+By_0+Ax_0)^2}{(A^2+B^2)^2}+\frac{B^2(C+Ax_0+By_0)^2}{(A^2+B^2)^2}}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{\frac{A^2(C+By_0+Ax_0)^2+B^2(C+Ax_0+By_0)^2}{(A^2+B^2)^2}}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{\frac{(A^2+B^2)(C+By_0+Ax_0)^2}{(A^2+B^2)^2}}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{\sqrt{(C+By_0+Ax_0)^2}}{\sqrt{(A^2+B^2)}}}\)
wiadomo że \(\displaystyle{ \sqrt{(a+b)^2}=|a+b|}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{|C+By_0+Ax_0|}{\sqrt{(A^2+B^2)}}}\)

BTW mam nadzieje ze sie komuś to przyda
mój nieobfitujący post w latex
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ