Matematyka.pl

Bardzo proszę o szybką pomoc:
Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą dwoma dowolnymi podzbiorami przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ X}\) takimi, że \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ Cl(A) \cap Int(B)=\emptyset}\)

Proszę o jakąś podpowiedź, bo próbowałam to już jakoś rozpisać lub zrobić nie wprost, ale nie wychodzi..

W przestrzeniach metrycznych do domknięcia należą wszystkie granice ciągów o wyrazach z danego zbiory (którego domknięcie rozpatrujemy). Weżmy więc jakiś y należący do domknięcia, każda otwarta kula zawierająca y, zawiera też nieskończenie wiele wyrazów ciągu do niego zbieżnego. Jednocześnie y należy do wnętrza B, co oznacza tyle, że istnieje otwarte otoczenie y, zawarte w B. To otwarte otoczenie jest sumą jakiś kul, któraś z nich zawiera y. Przetnij ją z kulą, o której pisałem przy okazji A, obie są niepuste, coś będzie w przecięciu. To taki zarys, wydaje mi się poprawny, teraz tylko to doszlifuj.

Pozdrawiam

Ok, dziękuje za wskazówkę. Przydała się