Matematyka.pl

Dla kazdego \(\displaystyle{ a \in Z^*_{14}}\) wyznaczyc podgrupe \(\displaystyle{ <a>}\) i okreslic rzad a.

Jak rozwiazac takie zadanie ? Prosilbym o opis jak to rozwiazac gdyz mam wiecej takich zadan a kompletnie nie mam pojecia jak to zrobic a reszte postaram sie zrobic w podobny sposob

Zacznijmy od wypisania elementów grupy \(\displaystyle{ \ZZ_{14}^{*}}\). Jakie to będą elementy?

wzglednie pierwsze z 14 o ile dobrze pamietam

No właśnie, więc jak będą wyglądać grupy generowane przez kolejne elementy?

Bierzesz jeden element i składasz go z nim samym generując kolejne elementy podgrupy, aż otrzymasz element neutralny.

Moglbys podac na jakims przykladzie? Zalezy mi zeby to zrobic, a na wykladzie niewiele nam o tym wspomnieli

Mógłbym.

Weźmy na przykład 3, które jest względnie pierwsze z 14.

\(\displaystyle{ <3>=\{3,9,13,11,5,1\}}\)

Wypisywałem kolejno składane 3.

\(\displaystyle{ 3\cdot_{14}3=9 \\
9\cdot_{14}3=13 \\
13\cdot_{14}3=11 \\
11\cdot_{14}3=5 \\
5\cdot_{14}3=1}\)

Ok dzieki. Kolejnosc ma znaczenie?
Gdybym wzial kolejna liczbe czyli 5 to mam cos takiego

\(\displaystyle{ <5>=\{1,3,9,11,13\}}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot_{14}5=1 \\ 5\cdot_{14}5=11 \\ 9\cdot_{14}5=3 \\ 11\cdot_{14}5=13 \\ 13\cdot_{14}5=9}\)

I tak kolejno dla liczby \(\displaystyle{ 9,11,13}\)
i co dalej?

Jeszcze nie o to chodzi.

Dla 5 bierzesz najpierw samą piątkę i wpisujesz do podgrupy. A później składasz ją samą ze sobą do momentu aż otrzymasz znowu 5.

Zatem:

\(\displaystyle{ <5>=\{5,11,13\}}\)

Ponieważ:

\(\displaystyle{ 5\cdot_{14}5=11 \\ 11\cdot_{14}5=13 \\ 13\cdot_{14}5=5}\)

aha ok to juz rozumie. I gdy wyznacze jeszcze te pozostale liczby to pierwsza czesc zadania juz chyba bedzie zrobiona. Rzad to jest ilosc tych elementow ? np dla 5 to 3 a dla 3 to 5 ?

Tak, zgadza się. Tylko pamiętaj, że jest jeszcze \(\displaystyle{ 1}\), które też trzeba uwzględnić. Umyślnie je pominąłem bo nie bardzo tam widać jak konstruować te grupy. Będzie to po prostu podgrupa trywialna.

Nie bardzo rozumie. To co napisac ze 1 jest tez podgrupa o rzedzie 1 ( bo generuje tylko siebie ) ?

Tak. I nazywa się to podgrupą trywialną.

ok bardzo dziekuje

Sorki odgrzewanie, ale:
\(\displaystyle{ <5>=\{5,11,13\}}\)
Czy to na pewno podgrupa skoro nie ma elementu neutralnego? Ok już wiem tam jest błąd.

diablomichal pisze:Sorki odgrzewanie, ale:
\(\displaystyle{ <5>=\{5,11,13\}}\)
Czy to na pewno podgrupa skoro nie ma elementu neutralnego? Ok już wiem tam jest błąd.

Zgadza się, błąd w rachunkach. Powinny jeszcze należeć \(\displaystyle{ 9,3,1}\) .