Matematyka.pl

cześć.
moim zadaniem jest znalezienie asymptot takiej funkicji:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\cos(\pi\cdot x)}{2^x-8}}\)

z pionową nie miałem większych problemów.
Szukając ukośnych sprawdzam najpierw czy ma poziome.
A więc:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \frac{\cos(\pi\cdot x)}{2^x-8} = \frac{\cos(\pi\cdot x)}{\pi\cdot x(\frac{2^x-8}{\pi\cdot x})}=0}\)

i to by się zgadzało, w plus nieskończoności asyptota pozioma y=0, tak jak podaje odpowiedź.
Jak prawdzam dla \(\displaystyle{ -\infty}\) mam dokładnie to samo co wyżej i też by wychodziło że y=0.
Według odpowiedzi w minus nieskończoności nie ma asymptoty.

Robię coś źle czy błąd w książce?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } 2^x= 0}\)

więc mianownik \(\displaystyle{ \to\ \ -8}\)
ale licznik oscyluje między \(\displaystyle{ -1 \ a\ 1}\)
więc granica nie istnieje



co do pierwszego
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2^x-8} \le \frac{\cos(\pi\cdot x)}{2^x-8} \le \frac{1}{2^x-8}}\)

ok, zgadzam się.
ale tego nie widać z tego jak to rozpisałem wcześniej i to chyba jest źle bo nie mogę użyć wzoru na iloczyn granic bo to w nawiasie ma granicę niewłaściwą. racja?

więc jak poprawnie pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \frac{\cos(\pi\cdot x)}{2^x-8}=0}\) ?

edit: z twierdzenia o trzech funkcjiach będzie ok?