oblicz granice
: 4 gru 2012, o 16:07
Oblicz granice ciągów:
Co do pierwszej to nie wiem zbytnio co zrobić, a druga chyba jest dobrze?
Da się sprawdzić co jest większe \(\displaystyle{ n!}\) czy \(\displaystyle{ 5^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n^{n}}{5^{n}n!}}\)
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{a_{n}}{a_{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{5^{n}n!}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left( \frac{5}{n} \right) ^{n}n!}= \frac{1}{0 \cdot \infty }=?}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{n^{n}}{5^{n}5!} }{ \frac{ \left( n+1\right) ^{n+1} }{5^{n+1} \cdot \left( n+1\right)! } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n^{n} \cdot 5^{n+1} \cdot \left( n+1\right)! }{5^{n}\cdot n! \cdot \left( n+1\right)^{n+1} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{5n^{n}\left( n+1\right) }{\left( n+1\right)^{n+1} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{5n^{n}}{\left( n+1\right)^n }= \lim_{ n\to \infty } \frac{5}{\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n} }= \frac{5}{e}}\)
Co do pierwszej to nie wiem zbytnio co zrobić, a druga chyba jest dobrze?
Da się sprawdzić co jest większe \(\displaystyle{ n!}\) czy \(\displaystyle{ 5^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n^{n}}{5^{n}n!}}\)
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{a_{n}}{a_{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{5^{n}n!}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left( \frac{5}{n} \right) ^{n}n!}= \frac{1}{0 \cdot \infty }=?}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{n^{n}}{5^{n}5!} }{ \frac{ \left( n+1\right) ^{n+1} }{5^{n+1} \cdot \left( n+1\right)! } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n^{n} \cdot 5^{n+1} \cdot \left( n+1\right)! }{5^{n}\cdot n! \cdot \left( n+1\right)^{n+1} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{5n^{n}\left( n+1\right) }{\left( n+1\right)^{n+1} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{5n^{n}}{\left( n+1\right)^n }= \lim_{ n\to \infty } \frac{5}{\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n} }= \frac{5}{e}}\)