Matematyka.pl

Dlaczego granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}}\) nie istnieje?
Proszę o wyjaśnienie.

W zasadzie można zapisać tę granicę jako \(\displaystyle{ \lim_{ t\to \infty } sin t}\) i wybrać dwa podciągi, które nie mogą mieć wspólnej granicy.

\(\displaystyle{ x _{n}= \frac{1}{ \frac{ \pi }{2} +2n \pi }}\)
\(\displaystyle{ y _{n}= \frac{1}{2n \pi }}\)

\(\displaystyle{ f( x_{n}) = \sin( \frac{ \pi }{2} + 2k \pi )=1}\)
\(\displaystyle{ f( y_{n}) = \sin 2n \pi =0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} f( x_{n} ) \neq \lim_{x\to\ 0} f( y_{n} )}\)