Matematyka.pl

Spośród podanych elementów grupy \(\displaystyle{ GL(2,\mathbb{R})}\) wskazać 2 należące do tej samej warstwy względem podgrupy\(\displaystyle{ SL(2,\mathbb{R})=\{A\in GL(2,\mathbb{R}):\det A=1\}}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&0\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&\sqrt3\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt2&0\\0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&1\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\3&0\end{bmatrix}}\)
Czy ktoś ma pomysł na to zadanie? Żadna z tych macierzy nie ma wyznacznika 1, więc nie wiem jak mogą należeć do warstwy względem tej podgrupy.
\(\displaystyle{ GL(2,\mathbb{R})}\) to grupa macierzy wymiaru \(\displaystyle{ 2\times 2}\) o współczynnikach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Warstwa grupy \(\displaystyle{ G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H}\) to zbiór \(\displaystyle{ gH=\{gh:h\in H\}}\) dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ g\in G}\).

Zauważ, że w związku z tym macierze będące w tej samej warstwie muszą mieć ten sam wyznacznik, bo są iloczynami pewnej ustalonej macierzy przez dwie różne macierze o wyznaczniku \(\displaystyle{ 1}\) (które to mnożenie nie zmienia wyznacznika).

JK

Najpierw zastanówmy się kiedy dwa elementy należą do tej samej warstwy. Zatem mamy

\(\displaystyle{ A\cdot SL(2,\mathbb{R})= B \cdot SL(2,\mathbb{R}) \\
B^{-1}A\cdot SL(2,\mathbb{R})= SL(2,\mathbb{R})}\)

Aby otrzymać \(\displaystyle{ SL(2,\mathbb{R})}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ \det B^{-1}A=1}\).

Możemy to wyrazić relacją równoważności

\(\displaystyle{ A\sim B \Leftrightarrow (\det B)^{-1} \cdot \det A = 1}\)

Czyli ostatecznie musi zachodzić \(\displaystyle{ \det A = \det B}\)

Uprzedzony zostałem przez Pana Kraszewskiego, ale wklejam. Może się przyda.