XXVIII Konkurs Matematyczny im. prof. Jana Marszała (finał)
: 1 gru 2012, o 10:33
Zadania dla uczniów klas trzecich
Zadanie 1.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z spełniających nierówności: \(\displaystyle{ \left| x+y\right| - \left| z\right| \le 0}\), \(\displaystyle{ \left| y+z\right| - \left| x\right| \le 0}\), \(\displaystyle{ \left| z+x\right| - \left| y\right| \le 0}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left| x+y+z\right| = 0}\).
Zadanie 2.
Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a \ge 0}\), \(\displaystyle{ b \ge 0}\), \(\displaystyle{ c \ge 0}\), to zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ 6abc \le ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) \le 2( a^{3} + b^{3} + c^{3} )}\).
Zadanie 3.
Rozstrzygnij, czy istnieje liczba rzeczywista m, dla której wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-m)^{2}}\)?
Zadanie 1.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z spełniających nierówności: \(\displaystyle{ \left| x+y\right| - \left| z\right| \le 0}\), \(\displaystyle{ \left| y+z\right| - \left| x\right| \le 0}\), \(\displaystyle{ \left| z+x\right| - \left| y\right| \le 0}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left| x+y+z\right| = 0}\).
Zadanie 2.
Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a \ge 0}\), \(\displaystyle{ b \ge 0}\), \(\displaystyle{ c \ge 0}\), to zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ 6abc \le ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) \le 2( a^{3} + b^{3} + c^{3} )}\).
Zadanie 3.
Rozstrzygnij, czy istnieje liczba rzeczywista m, dla której wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-m)^{2}}\)?