Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sin\left( \pi \left| z+2i\right| \right) \ge 0}\)

Jak mam zaznaczyć zbiór takich elementów na płaszczyźnie zespolonej? Próbowałem rozwinąć z w tym zapisie i korzystać potem ze wzorów na sinus i cosinus, ale wyszły długie wyrażenia, które nie doprowadziły mnie do niczego. Proszę o pomoc. (nierówność jest ostra jednak)

\(\displaystyle{ \blue \sin\left( \pi \left| z+2i\right| \right) > 0}\)

\(\displaystyle{ 2k\pi<\pi \left| z+2i\right|<\pi+2k\pi\ \ \to\ \ 2k<\left| z+2i\right|<2k+1\ \ \ \red k\in\mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ 2k<\left| x+yi+2i\right|<2k+1\ \ \to\ \ 2k<\sqrt{x^2+(y+2)^2}<2k+1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^2+(y+2)^2}>2k \ \ \ \ \ \ \ \to\ \ x^2+(y+2)^2>(2k)^2\\ \sqrt{x^2+(y+2)^2}<2k+1\ \ \to\ \ x^2+(y+2)^2<(2k+1)^2 \end{cases}}\)

dla każdego \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\) obrazem jest przestrzeń między okręgami o środkach w punkcie \(\displaystyle{ (0, -2)}\)
i promieniach \(\displaystyle{ r_1=2k\ \ \ r_2=2k+1}\)
czyli kreślimy okręgi ze środkiem w \(\displaystyle{ (0, -2)}\) o promieniach \(\displaystyle{ r=\{1,2,3,4,\ ...\ \}}\) i zakreślamy najmniejsze koło i co drugi pierścień

Dziękuje