Matematyka.pl

Mam zbadać wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \left\{ c(t)|c(t)=(3t-3,-t+4,4t-2),t\in\mathbb{R}\right\} \\
\left\{ (x,y,z)|9x+7y-5z=11\right\}}\)

Niestety jakimś cudem wychodzi mi, że prosta i płaszczyzna są równoległe a ich częścią wspólną jest inna prosta (wiem że to nie możliwe )
wektor prostej to \(\displaystyle{ (3,-1,4)}\), a płaszczyzny \(\displaystyle{ (9,7,-5)}\)
\(\displaystyle{ (3,-1,4)\circ (9,7,-5)=27-7-20=0}\) - wektory są prostopadłe więc prosta i płaszczyzna są równoległe
a teraz wyznaczam punkty wspólne:
\(\displaystyle{ 9(3t-3)+7(4-t)-5(4t-2)=11 \\
27t-27+28-7t-20t+10=11 \\
11=11}\)
równanie ma nieskończenie wiele rozw, czyli \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\), spełniają je wszystkie punkty \(\displaystyle{ (t,t,t)}\) więc częścią wspólną jest prosta \(\displaystyle{ \left\{ c(t)|c(t)=(t,t,t)\right\}}\)
Dodatkowo kąt między wektorami prostej i płaszczyzny wyszedł mi 0, więc się nie pokrywają czyli znowu nic się nie zgadza..
Dostałem takie coś 2 tygodnie temu na kole i nawet jak usiadłem do tego po takim czasie to nie widze żadnego błędu

Dlaczego podstawiasz równanie prostej do płaszczyzny, skoro wiesz, że są równoległe? Żeby sprawdzić, czy prosta zawiera się w płaszczyźnie, wybierz dowolny punkt z prostej i sprawdź, czy należy on do płaszczyzny. Jeśli tak - płaszczyzna zawiera tą prostą. Jeśli nie, oblicz odległość tego punktu od płaszczyzny (a stąd masz odległość prostej od płaszczyzny). W zasadzie możesz to nawet zrobić od razu - jak wyjdzie zero to masz zawieranie.

No niby tak, skoro wiem że są równoległe to nie powinienem znajdywać punktów wspólnych. Ale gdybym zaczął to rozwiązywać od drugiej strony, to znaczy najpierw bym szukał pkt wspólnych i wyszła by ta prosta, to już by było źle, bo w takim razie nie sprawdzał bym czy są równoległe. No chyba że równoległość to jakiś 'warunek konieczny', że jak się tego nie sprawdzi to dalej nie ma co rozwiązywać zadania.

Wyznaczenie wektora kierunkowego prostej i wektora normalnego płaszczyzny to pierwszy, standardowy krok. Stąd dostajesz informacje o równoległości i później wiesz, czy masz szukać punktów wspólnych, czy liczyć odległość prostej od płaszczyzny.