Matematyka.pl

Niech wektory \(\displaystyle{ w_1,w_2,w_3\in \RR^3}\) będą liniowo niezależne i niech
\(\displaystyle{ v_1=w_2+w_3, v_2=w_1+w_3, v_3=w_1+w_2}\)
(a)Czy i dlaczego wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3}\) są liniowo zależne?
(b)Uzupełnij następujące zdania:
Wektory\(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3,w_1}\) są liniowo zależne, ponieważ .....
Wektory \(\displaystyle{ v_1,u = [0, 0, 0]}\) są liniowo zależne, ponieważ .....

a) Ok to weźmy tak

\(\displaystyle{ \alpha (w_{2}+w_{3}) + \beta (w_{1}+w_{3}) + \gamma (w_{1}+w_{2})}\)

Zobaczmy,że \(\displaystyle{ (\alpha + \gamma)w_{1} + (\alpha + \beta)w_{3} + (\beta + \gamma)w_{1}}\)

Teraz jeżeli weźmiemy odpowiednio czynniki \(\displaystyle{ w_{1},w_{2},w_{3}}\) które będą nie zerowe to pokażemy, że nasze wektory są liniowo zależne.

Lub sposób nr 2

Można zrobić układ równań \(\displaystyle{ t_{1} (w_{2}+w_{3}) + t_{2} (w_{1}+w_{3}) + t_{3} (w_{1}+w_{2})}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} w_{2}+2w_{1}=0\\2w_{3}+w_{2}=0\end{cases}}\)

A dalej nie wiem jak rozwiązać...

I zadanie b nie wiem jak zrobić proszę o pomoc.

-- 27 lis 2012, o 12:55 --

b) Wektory \(\displaystyle{ v_1,u = [0, 0, 0]}\) są liniowo zależne, ponieważ ..... każdy układ zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.

Wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3,w_1}\) są liniowo zależne, ponieważ ..... \(\displaystyle{ w_{1}}\) jest wektorem niezerowym.

Dobry pomysł...też bym zobaczył rozwiązanie tego problemu xd

W podpunkcie a)

Jeśli wiemy, że wektory \(\displaystyle{ w_1,w_2,w_3}\) są liniowo niezależne to:

\(\displaystyle{ \det(w_1,w_2,w_3) \neq 0}\)

Wiemy też, że dodanie jakiejkolwiek kolumny do innej nie zmienia wartości wyznacznika, zatem:

\(\displaystyle{ \det(w_1+w_2,w_2+w_3,w_2+w_3)=\det(w_1,w_2,w_3) \neq 0}\)

Czyli wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3}\) są liniowo niezależne.

W b) skorzystaj z tego że \(\displaystyle{ w_1}\) można przedstawić jako sumę poprzednich. Oraz z tego, że wektor zerowy jest...?

No jeżeli jeden wektor jest zerowy to jest to liniowo zależne...

A pytanie jeżeli nie byłoby "+" w tym pierwszym tylko "-" to zmieniłoby się coś?

Nie zmieniłoby nic. Poczytaj o działaniach na wyznaczniku.

Odnośnie wektora zerowego, jest on liniowo zależny ze wszystkimi wektorami bo \(\displaystyle{ u=0*v_1}\)

Vardamir pisze:Nie zmieniłoby nic. Poczytaj o działaniach na wyznaczniku.

Odnośnie wektora zerowego, jest on liniowo zależny ze wszystkimi wektorami bo \(\displaystyle{ u=0*v_1}\)

to prawda ale czemu robiac tak \(\displaystyle{ v_{1} = w_{2} - w_{3}}\) moglibysmy dobrac takie skalary ze

w tym przypadku \(\displaystyle{ (1 \cdot v_{1}) + (1 \cdot v_{2}) + ( (-1) v_{3} )}\) \(\displaystyle{ = 0}\)