Matematyka.pl

jak ugryźć to:
\(\displaystyle{ e ^{z+1}=-4}\)

rozumiem, że coś z tym trzeba pokombinować
\(\displaystyle{ e ^{z+1}=e ^{x}(\cos y+i\sin y)}\)

kombinuję ,kombinuję i nic ciekawego nie wychodzi

W tym przykładzie najlepiej skorzystać z własności logarytmu głównego.

\(\displaystyle{ \mbox{Log}z=\ln \left| z\right|+i \arg z+2k \pi i, \ \mbox{gdzie} \ k \in \mathbb{Z}}\)

\(\displaystyle{ e ^{z+1}=-4 \Leftrightarrow z+1=\mbox{Log}\left( -4\right)}\)

\(\displaystyle{ \mbox{Log}\left( -4\right)=\ln 4+i \pi +2k \pi i}\)

\(\displaystyle{ z+1=\ln 4+i \pi +2k \pi i \Leftrightarrow z=\ln 4+i \pi +2k \pi i-1}\)

Jasne po prostu nałożyć logarytm na dwie strony.
Dziękuję

MichalPWr pisze:W tym przykładzie najlepiej skorzystać z własności logarytmu głównego.

\(\displaystyle{ \mbox{Log}z=\ln \left| z\right|+i \arg z+2k \pi i, \ \mbox{gdzie} \ k \in \mathbb{Z}}\)

To nie jest logarytm główny, tylko pełny logarytm. Logarytm główny jest jednoznaczny, więc nie ma składnika \(\displaystyle{ 2k \pi \mathrm i.}\)