Matematyka.pl

Nie mogę tego rozgryźć:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-1}2a^{i}}\)

Wynik: \(\displaystyle{ \frac{2(a^k-1)}{a-1}}\)

Skoro \(\displaystyle{ 2a^0+2a^1+2a^2+...+2a^{k-1}}\) - jeśli dobrze rozpisałem,

to ze wzoru na sumę częściową szeregu geom.: \(\displaystyle{ a_1 \frac{1-q^n}{1-q}}\)
to wynika, że \(\displaystyle{ a_1}\)to \(\displaystyle{ 2a^0}\), a co z \(\displaystyle{ q}\)? Skąd się wzięło \(\displaystyle{ a^k}\)?

Pomoże mi ktoś jakoś to wytłumaczyć?

Ta \(\displaystyle{ 2}\) nie jest podnoszona do potęgi, więc lepiej ją wyłączyć:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-1}2a ^{i}=2 \sum_{i=0}^{k-1}a ^{i}}\)
I teraz liczysz tę sumę ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego, pierwszy wyraz to \(\displaystyle{ a ^{0},q=a}\)

Rozpisałem kilka - wynik wg wolframa:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-1}a ^{i}= \frac{a^k-1}{a-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k-1}a ^{i}=\frac{a^k-a}{a-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{k-1}a ^{i}=\frac{a^k-a^2}{a-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=3}^{k-1}a ^{i}=\frac{a^k-a^3}{a-1}}\)

Weźmy to trzecie:

\(\displaystyle{ q=1}\), pierwszy wyraz to \(\displaystyle{ a^2}\)

to byłoby tak:

\(\displaystyle{ \frac{a^2(1-a^k)}{1-a}=\frac{a^2-a^{k+2}}{1-a}}\) to więc czemu inny wynik w wolframie?